Precálculo Ejemplos

$\sum_{k = 1}^{10} 1 + {(- 1)}^{k}$

Paso 1

Divide la suma en sumas más pequeñas de acuerdo con la reglas de suma.

$\sum_{k = 1}^{10} 1 + {(- 1)}^{k} = \sum_{k = 1}^{10} 1 + \sum_{k = 1}^{10} {(- 1)}^{k}$

Paso 2

Evalúa $\sum_{k = 1}^{10} 1$ .

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Paso 2.1

La fórmula para la suma de una constante es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Paso 2.2

Sustituye los valores en la fórmula.

$(1) (10)$

Paso 2.3

Multiplica $10$ por $1$ .

$10$

Paso 3

Evalúa $\sum_{k = 1}^{10} {(- 1)}^{k}$ .

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Paso 3.1

La suma de una serie geométrica finita se puede obtener mediante la fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ donde $a$ es el primer término y $r$ es la razón entre los términos sucesivos.

Paso 3.2

Obtén la razón de los términos sucesivos mediante la inserción en la fórmula $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ y la simplificación.

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Paso 3.2.1

Sustituye $a_{k}$ y $a_{k + 1}$ en la fórmula por $r$ .

$r = \frac{{(- 1)}^{k + 1}}{{(- 1)}^{k}}$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común de ${(- 1)}^{k + 1}$ y ${(- 1)}^{k}$ .

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Paso 3.2.2.1

Factoriza ${(- 1)}^{k}$ de ${(- 1)}^{k + 1}$ .

$r = \frac{{(- 1)}^{k} \cdot - 1}{{(- 1)}^{k}}$

Paso 3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$r = \frac{{(- 1)}^{k} \cdot - 1}{{(- 1)}^{k} \cdot 1}$

Paso 3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$r = \frac{{(- 1)}^{k} \cdot - 1}{{(- 1)}^{k} \cdot 1}$

Paso 3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$r = \frac{- 1}{1}$

Paso 3.2.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$r = - 1$

Paso 3.3

Obtén el primer término en la serie mediante la sustitución de la cota inferior y la simplificación.

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Paso 3.3.1

Sustituye $1$ por $k$ en ${(- 1)}^{k}$ .

$a = {(- 1)}^{1}$

Paso 3.3.2

Evalúa el exponente.

$a = - 1$

Paso 3.4

Sustituye los valores de la razón, el primer término y el número de términos en la fórmula de suma.

$- \frac{1 - {(- 1)}^{10}}{1 - - 1}$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1.1

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{10}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.5.1.1.1

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{10}$ .

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Paso 3.5.1.1.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{1 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{10}}{1 - - 1}$

Paso 3.5.1.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{1 + {(- 1)}^{1 + 10}}{1 - - 1}$

Paso 3.5.1.1.2

Suma $1$ y $10$ .

$- \frac{1 + {(- 1)}^{11}}{1 - - 1}$

Paso 3.5.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $11$ .

$- \frac{1 - 1}{1 - - 1}$

Paso 3.5.1.3

Resta $1$ de $1$ .

$- \frac{0}{1 - - 1}$

Paso 3.5.2

Simplifica el denominador.

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Paso 3.5.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{0}{1 + 1}$

Paso 3.5.2.2

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{0}{2}$

Paso 3.5.3

Divide $0$ por $2$ .

$- 0$

Paso 3.5.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$0$

Paso 4

Suma los resultados de las sumas.

$10 + 0$

Paso 5

Suma $10$ y $0$ .

$10$