Precálculo Ejemplos

$\sum_{k = 1}^{6} 5 {(\frac{9}{4})}^{k - 1}$

Paso 1

La suma de una serie geométrica finita se puede obtener mediante la fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ donde $a$ es el primer término y $r$ es la razón entre los términos sucesivos.

Paso 2

Obtén la razón de los términos sucesivos mediante la inserción en la fórmula $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ y la simplificación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Sustituye $a_{k}$ y $a_{k + 1}$ en la fórmula por $r$ .

$r = \frac{5 {(\frac{9}{4})}^{k + 1 - 1}}{5 {(\frac{9}{4})}^{k - 1}}$

Paso 2.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$r = \frac{5 {(\frac{9}{4})}^{k + 1 - 1}}{5 {(\frac{9}{4})}^{k - 1}}$

Paso 2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$r = \frac{{(\frac{9}{4})}^{k + 1 - 1}}{{(\frac{9}{4})}^{k - 1}}$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de ${(\frac{9}{4})}^{k + 1 - 1}$ y ${(\frac{9}{4})}^{k - 1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1

Factoriza ${(\frac{9}{4})}^{k - 1}$ de ${(\frac{9}{4})}^{k + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{9}{4})}^{k - 1} {(\frac{9}{4})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{9}{4})}^{k - 1}}$

Paso 2.2.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$r = \frac{{(\frac{9}{4})}^{k - 1} {(\frac{9}{4})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{9}{4})}^{k - 1} \cdot 1}$

Paso 2.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$r = \frac{{(\frac{9}{4})}^{k - 1} {(\frac{9}{4})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{9}{4})}^{k - 1} \cdot 1}$

Paso 2.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$r = \frac{{(\frac{9}{4})}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

Paso 2.2.2.2.4

Divide ${(\frac{9}{4})}^{k + 0 - (k - 1)}$ por $1$ .

$r = {(\frac{9}{4})}^{k + 0 - (k - 1)}$

Paso 2.2.3

Suma $k$ y $0$ .

$r = {(\frac{9}{4})}^{k - (k - 1)}$

Paso 2.2.4

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$r = {(\frac{9}{4})}^{k - k - - 1}$

Paso 2.2.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$r = {(\frac{9}{4})}^{k - k + 1}$

Paso 2.2.5

Resta $k$ de $k$ .

$r = {(\frac{9}{4})}^{0 + 1}$

Paso 2.2.6

Suma $0$ y $1$ .

$r = {(\frac{9}{4})}^{1}$

Paso 2.2.7

Simplifica.

$r = \frac{9}{4}$

Paso 3

Obtén el primer término en la serie mediante la sustitución de la cota inferior y la simplificación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Sustituye $1$ por $k$ en $5 {(\frac{9}{4})}^{k - 1}$ .

$a = 5 {(\frac{9}{4})}^{1 - 1}$

Paso 3.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$a = 5 {(\frac{9}{4})}^{0}$

Paso 3.2.2

Aplica la regla del producto a $\frac{9}{4}$ .

$a = 5 \frac{9^{0}}{4^{0}}$

Paso 3.2.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$a = 5 \frac{1}{4^{0}}$

Paso 3.2.4

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$a = 5 (\frac{1}{1})$

Paso 3.2.5

Cancela el factor común de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.5.1

Cancela el factor común.

$a = 5 (\frac{1}{1})$

Paso 3.2.5.2

Reescribe la expresión.

$a = 5 \cdot 1$

Paso 3.2.6

Multiplica $5$ por $1$ .

$a = 5$

Paso 4

Sustituye los valores de la razón, el primer término y el número de términos en la fórmula de suma.

$5 \frac{1 - {(\frac{9}{4})}^{6}}{1 - \frac{9}{4}}$

Paso 5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1

Multiplica $\frac{1 - {(\frac{9}{4})}^{6}}{1 - \frac{9}{4}}$ por $\frac{4}{4}$ .

$5 (\frac{4}{4} \cdot \frac{1 - {(\frac{9}{4})}^{6}}{1 - \frac{9}{4}})$

Paso 5.1.2

Combinar.

$5 \frac{4 (1 - {(\frac{9}{4})}^{6})}{4 (1 - \frac{9}{4})}$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$5 \frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{9}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 + 4 (- \frac{9}{4})}$

Paso 5.3

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{9}{4}$ al numerador.

$5 \frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{9}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 + 4 (\frac{- 9}{4})}$

Paso 5.3.2

Cancela el factor común.

$5 \frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{9}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 + 4 (\frac{- 9}{4})}$

Paso 5.3.3

Reescribe la expresión.

$5 \frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{9}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 - 9}$

Paso 5.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1

Multiplica $4$ por $1$ .

$5 \frac{4 + 4 (- {(\frac{9}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 - 9}$

Paso 5.4.2

Aplica la regla del producto a $\frac{9}{4}$ .

$5 \frac{4 + 4 (- \frac{9^{6}}{4^{6}})}{4 \cdot 1 - 9}$

Paso 5.4.3

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{9^{6}}{4^{6}}$ al numerador.

$5 \frac{4 + 4 \frac{- 9^{6}}{4^{6}}}{4 \cdot 1 - 9}$

Paso 5.4.3.2

Factoriza $4$ de $4^{6}$ .

$5 \frac{4 + 4 \frac{- 9^{6}}{4 \cdot 4^{5}}}{4 \cdot 1 - 9}$

Paso 5.4.3.3

Cancela el factor común.

$5 \frac{4 + 4 \frac{- 9^{6}}{4 \cdot 4^{5}}}{4 \cdot 1 - 9}$

Paso 5.4.3.4

Reescribe la expresión.

$5 \frac{4 + \frac{- 9^{6}}{4^{5}}}{4 \cdot 1 - 9}$

Paso 5.4.4

Eleva $9$ a la potencia de $6$ .

$5 \frac{4 + \frac{- 1 \cdot 531441}{4^{5}}}{4 \cdot 1 - 9}$

Paso 5.4.5

Eleva $4$ a la potencia de $5$ .

$5 \frac{4 + \frac{- 1 \cdot 531441}{1024}}{4 \cdot 1 - 9}$

Paso 5.4.6

Multiplica $- 1$ por $531441$ .

$5 \frac{4 + \frac{- 531441}{1024}}{4 \cdot 1 - 9}$

Paso 5.4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$5 \frac{4 - \frac{531441}{1024}}{4 \cdot 1 - 9}$

Paso 5.4.8

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1024}{1024}$ .

$5 \frac{4 \cdot \frac{1024}{1024} - \frac{531441}{1024}}{4 \cdot 1 - 9}$

Paso 5.4.9

Combina $4$ y $\frac{1024}{1024}$ .

$5 \frac{\frac{4 \cdot 1024}{1024} - \frac{531441}{1024}}{4 \cdot 1 - 9}$

Paso 5.4.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$5 \frac{\frac{4 \cdot 1024 - 531441}{1024}}{4 \cdot 1 - 9}$

Paso 5.4.11

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.11.1

Multiplica $4$ por $1024$ .

$5 \frac{\frac{4096 - 531441}{1024}}{4 \cdot 1 - 9}$

Paso 5.4.11.2

Resta $531441$ de $4096$ .

$5 \frac{\frac{- 527345}{1024}}{4 \cdot 1 - 9}$

Paso 5.4.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$5 \frac{- \frac{527345}{1024}}{4 \cdot 1 - 9}$

Paso 5.5

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.1

Multiplica $4$ por $1$ .

$5 \frac{- \frac{527345}{1024}}{4 - 9}$

Paso 5.5.2

Resta $9$ de $4$ .

$5 \frac{- \frac{527345}{1024}}{- 5}$

Paso 5.6

Cancela el factor común de $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.6.1

Factoriza $5$ de $- 5$ .

$5 \frac{- \frac{527345}{1024}}{5 (- 1)}$

Paso 5.6.2

Cancela el factor común.

$5 \frac{- \frac{527345}{1024}}{5 \cdot - 1}$

Paso 5.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- \frac{527345}{1024}}{- 1}$

Paso 5.7

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\frac{527345}{1024}}{1}$

Paso 5.8

Divide $\frac{527345}{1024}$ por $1$ .

$\frac{527345}{1024}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{527345}{1024}$

Forma decimal:

$514.98535156 \dots$

Forma de número mixto:

$514 \frac{1009}{1024}$