Precálculo Ejemplos

$\sum_{k = 1}^{200} {(2 k - 3)}^{2}$

Paso 1

Simplifica la suma.

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Paso 1.1

Reescribe ${(2 k - 3)}^{2}$ como $(2 k - 3) (2 k - 3)$ .

$(2 k - 3) (2 k - 3)$

Paso 1.2

Expande $(2 k - 3) (2 k - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 k (2 k - 3) - 3 (2 k - 3)$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 k (2 k) + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k - 3)$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 k (2 k) + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \cdot 2 k \cdot k + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

Paso 1.3.1.2

Multiplica $k$ por $k$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.1.2.1

Mueve $k$ .

$2 \cdot 2 (k \cdot k) + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

Paso 1.3.1.2.2

Multiplica $k$ por $k$ .

$2 \cdot 2 k^{2} + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

Paso 1.3.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 k^{2} + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

Paso 1.3.1.4

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$4 k^{2} - 6 k - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

Paso 1.3.1.5

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$4 k^{2} - 6 k - 6 k - 3 \cdot - 3$

Paso 1.3.1.6

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$4 k^{2} - 6 k - 6 k + 9$

Paso 1.3.2

Resta $6 k$ de $- 6 k$ .

$4 k^{2} - 12 k + 9$

Paso 1.4

Reescribe la suma.

$\sum_{k = 1}^{200} 4 k^{2} - 12 k + 9$

Paso 2

Divide la suma en sumas más pequeñas de acuerdo con la reglas de suma.

$\sum_{k = 1}^{200} 4 k^{2} - 12 k + 9 = 4 \sum_{k = 1}^{200} k^{2} - 12 \sum_{k = 1}^{200} k + \sum_{k = 1}^{200} 9$

Paso 3

Evalúa $4 \sum_{k = 1}^{200} k^{2}$ .

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Paso 3.1

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $2$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Paso 3.2

Sustituye los valores en la fórmula y asegúrate de multiplicar por el término frontal.

$(4) (\frac{200 (200 + 1) (2 \cdot 200 + 1)}{6})$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.1.1

Suma $200$ y $1$ .

$4 \frac{200 \cdot 201 (2 \cdot 200 + 1)}{6}$

Paso 3.3.1.2

Combina exponentes.

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Paso 3.3.1.2.1

Multiplica $200$ por $201$ .

$4 \frac{40200 (2 \cdot 200 + 1)}{6}$

Paso 3.3.1.2.2

Multiplica $2$ por $200$ .

$4 \frac{40200 (400 + 1)}{6}$

Paso 3.3.1.3

Suma $400$ y $1$ .

$4 \frac{40200 \cdot 401}{6}$

Paso 3.3.2

Simplifica los términos.

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Paso 3.3.2.1

Multiplica $40200$ por $401$ .

$4 (\frac{16120200}{6})$

Paso 3.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$2 (2) \frac{16120200}{6}$

Paso 3.3.2.2.2

Factoriza $2$ de $6$ .

$2 \cdot 2 \frac{16120200}{2 \cdot 3}$

Paso 3.3.2.2.3

Cancela el factor común.

$2 \cdot 2 \frac{16120200}{2 \cdot 3}$

Paso 3.3.2.2.4

Reescribe la expresión.

$2 (\frac{16120200}{3})$

Paso 3.3.2.3

Combina $2$ y $\frac{16120200}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 16120200}{3}$

Paso 3.3.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.2.4.1

Multiplica $2$ por $16120200$ .

$\frac{32240400}{3}$

Paso 3.3.2.4.2

Divide $32240400$ por $3$ .

$10746800$

Paso 4

Evalúa $12 \sum_{k = 1}^{200} k$ .

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Paso 4.1

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $1$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Paso 4.2

Sustituye los valores en la fórmula y asegúrate de multiplicar por el término frontal.

$(- 12) (\frac{200 (200 + 1)}{2})$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.1.1

Suma $200$ y $1$ .

$- 12 \frac{200 \cdot 201}{2}$

Paso 4.3.1.2

Multiplica $200$ por $201$ .

$- 12 (\frac{40200}{2})$

Paso 4.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.2.1

Factoriza $2$ de $- 12$ .

$2 (- 6) \frac{40200}{2}$

Paso 4.3.2.2

Cancela el factor común.

$2 \cdot - 6 \frac{40200}{2}$

Paso 4.3.2.3

Reescribe la expresión.

$- 6 \cdot 40200$

Paso 4.3.3

Multiplica $- 6$ por $40200$ .

$- 241200$

Paso 5

Evalúa $\sum_{k = 1}^{200} 9$ .

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Paso 5.1

La fórmula para la suma de una constante es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Paso 5.2

Sustituye los valores en la fórmula.

$(9) (200)$

Paso 5.3

Multiplica $9$ por $200$ .

$1800$

Paso 6

Suma los resultados de las sumas.

$10746800 - 241200 + 1800$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Resta $241200$ de $10746800$ .

$10505600 + 1800$

Paso 7.2

Suma $10505600$ y $1800$ .

$10507400$