Precálculo Ejemplos

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{7}{8^{k}}$

Paso 1

La suma de una serie geométrica infinita se puede obtener mediante la fórmula $\frac{a}{1 - r}$ donde $a$ es el primer término y $r$ es la razón entre los términos sucesivos.

Paso 2

Obtén la razón de los términos sucesivos mediante la inserción en la fórmula $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ y la simplificación.

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Paso 2.1

Sustituye $a_{k}$ y $a_{k + 1}$ en la fórmula por $r$ .

$r = \frac{\frac{7}{8^{k + 1}}}{\frac{7}{8^{k}}}$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$r = \frac{7}{8^{k + 1}} \cdot \frac{8^{k}}{7}$

Paso 2.2.2

Combinar.

$r = \frac{7 \cdot 8^{k}}{8^{k + 1} \cdot 7}$

Paso 2.2.3

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 2.2.3.1

Cancela el factor común.

$r = \frac{7 \cdot 8^{k}}{8^{k + 1} \cdot 7}$

Paso 2.2.3.2

Reescribe la expresión.

$r = \frac{8^{k}}{8^{k + 1}}$

Paso 2.2.4

Cancela el factor común de $8^{k}$ y $8^{k + 1}$ .

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Paso 2.2.4.1

Factoriza $8^{k + 1}$ de $8^{k}$ .

$r = \frac{8^{k + 1} \cdot 8^{k - (k + 1)}}{8^{k + 1}}$

Paso 2.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.4.2.1

Multiplica por $1$ .

$r = \frac{8^{k + 1} \cdot 8^{k - (k + 1)}}{8^{k + 1} \cdot 1}$

Paso 2.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$r = \frac{8^{k + 1} \cdot 8^{k - (k + 1)}}{8^{k + 1} \cdot 1}$

Paso 2.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$r = \frac{8^{k - (k + 1)}}{1}$

Paso 2.2.4.2.4

Divide $8^{k - (k + 1)}$ por $1$ .

$r = 8^{k - (k + 1)}$

Paso 2.2.5

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$r = 8^{k - k - 1 \cdot 1}$

Paso 2.2.5.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$r = 8^{k - k - 1}$

Paso 2.2.6

Resta $k$ de $k$ .

$r = 8^{0 - 1}$

Paso 2.2.7

Resta $1$ de $0$ .

$r = 8^{- 1}$

Paso 2.2.8

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$r = \frac{1}{8}$

Paso 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Paso 4

Obtén el primer término en la serie mediante la sustitución de la cota inferior y la simplificación.

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Paso 4.1

Sustituye $1$ por $k$ en $\frac{7}{8^{k}}$ .

$a = \frac{7}{8^{1}}$

Paso 4.2

Evalúa el exponente.

$a = \frac{7}{8}$

Paso 5

Sustituye los valores de la razón y el primer término en la fórmula de suma.

$\frac{\frac{7}{8}}{1 - \frac{1}{8}}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{7}{8} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{8}}$

Paso 6.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{7}{8} \cdot \frac{1}{\frac{8}{8} - \frac{1}{8}}$

Paso 6.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{7}{8} \cdot \frac{1}{\frac{8 - 1}{8}}$

Paso 6.2.3

Resta $1$ de $8$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{1}{\frac{7}{8}}$

Paso 6.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{7}{8} (1 (\frac{8}{7}))$

Paso 6.4

Multiplica $\frac{8}{7}$ por $1$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{8}{7}$

Paso 6.5

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 6.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{7}{8} \cdot \frac{8}{7}$

Paso 6.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{8} \cdot 8$

Paso 6.6

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 6.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{8} \cdot 8$

Paso 6.6.2

Reescribe la expresión.

$1$