Precálculo Ejemplos

$\sum_{5}^{50} 2 n + 5$

Paso 1

Divide la suma para hacer que el valor inicial de $n$ sea igual a $1$ .

$\sum_{5}^{50} 2 n + 5 = \sum_{n = 1}^{50} 2 n + 5 - \sum_{n = 1}^{4} 2 n + 5$

Paso 2

Evalúa $\sum_{n = 1}^{50} 2 n + 5$ .

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Paso 2.1

Divide la suma en sumas más pequeñas de acuerdo con la reglas de suma.

$\sum_{n = 1}^{50} 2 n + 5 = 2 \sum_{n = 1}^{50} n + \sum_{n = 1}^{50} 5$

Paso 2.2

Evalúa $2 \sum_{n = 1}^{50} n$ .

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Paso 2.2.1

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $1$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Paso 2.2.2

Sustituye los valores en la fórmula y asegúrate de multiplicar por el término frontal.

$(2) (\frac{50 (50 + 1)}{2})$

Paso 2.2.3

Simplifica.

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Paso 2.2.3.1

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.3.1.1

Suma $50$ y $1$ .

$2 \frac{50 \cdot 51}{2}$

Paso 2.2.3.1.2

Multiplica $50$ por $51$ .

$2 (\frac{2550}{2})$

Paso 2.2.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.3.2.1

Cancela el factor común.

$2 (\frac{2550}{2})$

Paso 2.2.3.2.2

Reescribe la expresión.

$2550$

Paso 2.3

Evalúa $\sum_{n = 1}^{50} 5$ .

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Paso 2.3.1

La fórmula para la suma de una constante es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Paso 2.3.2

Sustituye los valores en la fórmula.

$(5) (50)$

Paso 2.3.3

Multiplica $5$ por $50$ .

$250$

Paso 2.4

Suma los resultados de las sumas.

$2550 + 250$

Paso 2.5

Suma $2550$ y $250$ .

$2800$

Paso 3

Evalúa $\sum_{n = 1}^{4} 2 n + 5$ .

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Paso 3.1

Expande la serie para cada valor de $n$ .

$2 \cdot 1 + 5 + 2 \cdot 2 + 5 + 2 \cdot 3 + 5 + 2 \cdot 4 + 5$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + 5 + 2 \cdot 2 + 5 + 2 \cdot 3 + 5 + 2 \cdot 4 + 5$

Paso 3.2.2

Suma $2$ y $5$ .

$7 + 2 \cdot 2 + 5 + 2 \cdot 3 + 5 + 2 \cdot 4 + 5$

Paso 3.2.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$7 + 4 + 5 + 2 \cdot 3 + 5 + 2 \cdot 4 + 5$

Paso 3.2.4

Suma $4$ y $5$ .

$7 + 9 + 2 \cdot 3 + 5 + 2 \cdot 4 + 5$

Paso 3.2.5

Suma $7$ y $9$ .

$16 + 2 \cdot 3 + 5 + 2 \cdot 4 + 5$

Paso 3.2.6

Multiplica $2$ por $3$ .

$16 + 6 + 5 + 2 \cdot 4 + 5$

Paso 3.2.7

Suma $6$ y $5$ .

$16 + 11 + 2 \cdot 4 + 5$

Paso 3.2.8

Suma $16$ y $11$ .

$27 + 2 \cdot 4 + 5$

Paso 3.2.9

Multiplica $2$ por $4$ .

$27 + 8 + 5$

Paso 3.2.10

Suma $8$ y $5$ .

$27 + 13$

Paso 3.2.11

Suma $27$ y $13$ .

$40$

Paso 4

Reemplaza las sumas con los valores obtenidos.

$2800 - 40$

Paso 5

Resta $40$ de $2800$ .

$2760$