Precálculo Ejemplos

$\sum_{1}^{6} {(- 1)}^{k} \cdot 4^{k}$

Paso 1

La suma de una serie geométrica finita se puede obtener mediante la fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ donde $a$ es el primer término y $r$ es la razón entre los términos sucesivos.

Paso 2

Obtén la razón de los términos sucesivos mediante la inserción en la fórmula $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ y la simplificación.

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Paso 2.1

Sustituye $a_{k}$ y $a_{k + 1}$ en la fórmula por $r$ .

$r = \frac{{(- 1)}^{k + 1} \cdot 4^{k + 1}}{{(- 1)}^{k} \cdot 4^{k}}$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de ${(- 1)}^{k + 1}$ y ${(- 1)}^{k}$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza ${(- 1)}^{k}$ de ${(- 1)}^{k + 1} \cdot 4^{k + 1}$ .

$r = \frac{{(- 1)}^{k} (- 4^{k + 1})}{{(- 1)}^{k} \cdot 4^{k}}$

Paso 2.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.1.2.1

Factoriza ${(- 1)}^{k}$ de ${(- 1)}^{k} \cdot 4^{k}$ .

$r = \frac{{(- 1)}^{k} (- 4^{k + 1})}{{(- 1)}^{k} (4^{k})}$

Paso 2.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$r = \frac{{(- 1)}^{k} (- 4^{k + 1})}{{(- 1)}^{k} \cdot 4^{k}}$

Paso 2.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$r = \frac{- 4^{k + 1}}{4^{k}}$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de $4^{k + 1}$ y $4^{k}$ .

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Paso 2.2.2.1

Factoriza $4^{k}$ de $- 4^{k + 1}$ .

$r = \frac{4^{k} (- 1 \cdot 4)}{4^{k}}$

Paso 2.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$r = \frac{4^{k} (- 1 \cdot 4)}{4^{k} \cdot 1}$

Paso 2.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$r = \frac{4^{k} (- 1 \cdot 4)}{4^{k} \cdot 1}$

Paso 2.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$r = \frac{- 1 \cdot 4}{1}$

Paso 2.2.2.2.4

Divide $- 1 \cdot 4$ por $1$ .

$r = - 1 \cdot 4$

Paso 2.2.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$r = - 4$

Paso 3

Obtén el primer término en la serie mediante la sustitución de la cota inferior y la simplificación.

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Paso 3.1

Sustituye $1$ por $k$ en ${(- 1)}^{k} \cdot 4^{k}$ .

$a = {(- 1)}^{1} \cdot 4^{1}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Evalúa el exponente.

$a = - 1 \cdot 4^{1}$

Paso 3.2.2

Evalúa el exponente.

$a = - 1 \cdot 4$

Paso 3.2.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$a = - 4$

Paso 4

Sustituye los valores de la razón, el primer término y el número de términos en la fórmula de suma.

$- 4 \frac{1 - {(- 4)}^{6}}{1 - - 4}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $6$ .

$- 4 \frac{1 - 1 \cdot 4096}{1 - - 4}$

Paso 5.1.2

Multiplica $- 1$ por $4096$ .

$- 4 \frac{1 - 4096}{1 - - 4}$

Paso 5.1.3

Resta $4096$ de $1$ .

$- 4 \frac{- 4095}{1 - - 4}$

Paso 5.2

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$- 4 \frac{- 4095}{1 + 4}$

Paso 5.2.2

Suma $1$ y $4$ .

$- 4 (\frac{- 4095}{5})$

Paso 5.3

Divide $- 4095$ por $5$ .

$- 4 \cdot - 819$

Paso 5.4

Multiplica $- 4$ por $- 819$ .

$3276$