Precálculo Ejemplos

$2^{3 x - 1} = 3^{x - 2}$

Paso 1

Resta el logaritmo de ambos lados de la ecuación.

$\ln (2^{3 x - 1}) = \ln (3^{x - 2})$

Paso 2

Expande $\ln (2^{3 x - 1})$ ; para ello, mueve $3 x - 1$ fuera del logaritmo.

$(3 x - 1) \ln (2) = \ln (3^{x - 2})$

Paso 3

Expande $\ln (3^{x - 2})$ ; para ello, mueve $x - 2$ fuera del logaritmo.

$(3 x - 1) \ln (2) = (x - 2) \ln (3)$

Paso 4

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 4.1

Simplifica $(3 x - 1) \ln (2)$ .

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Paso 4.1.1

Reescribe.

$0 + 0 + (3 x - 1) \ln (2) = (x - 2) \ln (3)$

Paso 4.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$(3 x - 1) \ln (2) = (x - 2) \ln (3)$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x \ln (2) - 1 \ln (2) = (x - 2) \ln (3)$

Paso 4.1.4

Reescribe $- 1 \ln (2)$ como $- \ln (2)$ .

$3 x \ln (2) - \ln (2) = (x - 2) \ln (3)$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x \ln (2) - \ln (2) = x \ln (3) - 2 \ln (3)$

Paso 4.3

Resta $x \ln (3)$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x \ln (2) - \ln (2) - x \ln (3) = - 2 \ln (3)$

Paso 4.4

Suma $\ln (2)$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x \ln (2) - x \ln (3) = - 2 \ln (3) + \ln (2)$

Paso 4.5

Factoriza $x$ de $3 x \ln (2) - x \ln (3)$ .

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Paso 4.5.1

Factoriza $x$ de $3 x \ln (2)$ .

$x (3 \ln (2)) - x \ln (3) = - 2 \ln (3) + \ln (2)$

Paso 4.5.2

Factoriza $x$ de $- x \ln (3)$ .

$x (3 \ln (2)) + x (- 1 \ln (3)) = - 2 \ln (3) + \ln (2)$

Paso 4.5.3

Factoriza $x$ de $x (3 \ln (2)) + x (- 1 \ln (3))$ .

$x (3 \ln (2) - 1 \ln (3)) = - 2 \ln (3) + \ln (2)$

Paso 4.6

Reescribe $- 1 \ln (3)$ como $- \ln (3)$ .

$x (3 \ln (2) - \ln (3)) = - 2 \ln (3) + \ln (2)$

Paso 4.7

Divide cada término en $x (3 \ln (2) - \ln (3)) = - 2 \ln (3) + \ln (2)$ por $3 \ln (2) - \ln (3)$ y simplifica.

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Paso 4.7.1

Divide cada término en $x (3 \ln (2) - \ln (3)) = - 2 \ln (3) + \ln (2)$ por $3 \ln (2) - \ln (3)$ .

$\frac{x (3 \ln (2) - \ln (3))}{3 \ln (2) - \ln (3)} = \frac{- 2 \ln (3)}{3 \ln (2) - \ln (3)} + \frac{\ln (2)}{3 \ln (2) - \ln (3)}$

Paso 4.7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.7.2.1

Cancela el factor común de $3 \ln (2) - \ln (3)$ .

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Paso 4.7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (3 \ln (2) - \ln (3))}{3 \ln (2) - \ln (3)} = \frac{- 2 \ln (3)}{3 \ln (2) - \ln (3)} + \frac{\ln (2)}{3 \ln (2) - \ln (3)}$

Paso 4.7.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \ln (3)}{3 \ln (2) - \ln (3)} + \frac{\ln (2)}{3 \ln (2) - \ln (3)}$

Paso 4.7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.7.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{- 2 \ln (3) + \ln (2)}{3 \ln (2) - \ln (3)}$

Paso 4.7.3.2

Factoriza $- 1$ de $- 2 \ln (3)$ .

$x = \frac{- (2 \ln (3)) + \ln (2)}{3 \ln (2) - \ln (3)}$

Paso 4.7.3.3

Factoriza $- 1$ de $\ln (2)$ .

$x = \frac{- (2 \ln (3)) - 1 (- \ln (2))}{3 \ln (2) - \ln (3)}$

Paso 4.7.3.4

Factoriza $- 1$ de $- (2 \ln (3)) - 1 (- \ln (2))$ .

$x = \frac{- (2 \ln (3) - \ln (2))}{3 \ln (2) - \ln (3)}$

Paso 4.7.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 4.7.3.5.1

Reescribe $- (2 \ln (3) - \ln (2))$ como $- 1 (2 \ln (3) - \ln (2))$ .

$x = \frac{- 1 (2 \ln (3) - \ln (2))}{3 \ln (2) - \ln (3)}$

Paso 4.7.3.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{2 \ln (3) - \ln (2)}{3 \ln (2) - \ln (3)}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \frac{2 \ln (3) - \ln (2)}{3 \ln (2) - \ln (3)}$

Forma decimal:

$x = - 1.53347526 \dots$