Precálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{{(2 - x)}^{4} - 16}{x}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} {(2 - x)}^{4} - 16}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} {(2 - x)}^{4} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.2

Mueve el exponente $4$ de ${(2 - x)}^{4}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to 0} 2 - x)}^{4} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{{(lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} x)}^{4} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.4

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{{(2 - lim_{x \to 0} x)}^{4} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.5

Evalúa el límite de $16$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{{(2 - lim_{x \to 0} x)}^{4} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.6

Simplifica los términos.

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Paso 1.1.2.6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{{(2 + 0)}^{4} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.6.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.6.2.1.1

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{2^{4} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.6.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$\frac{16 - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.6.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$\frac{16 - 16}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.6.2.2

Resta $16$ de $16$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{{(2 - x)}^{4} - 16}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 - x)}^{4} - 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 - x)}^{4} - 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de ${(2 - x)}^{4} - 16$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [{(2 - x)}^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 - x)}^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [{(2 - x)}^{4}]$ .

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Paso 1.3.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = 2 - x$ .

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Paso 1.3.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 - x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [2 - x] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 u^{3} \frac{d}{d x} [2 - x] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 - x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 {(2 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [2 - x] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 {(2 - x)}^{3} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 {(2 - x)}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 {(2 - x)}^{3} (0 - \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 {(2 - x)}^{3} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 {(2 - x)}^{3} (0 - 1) + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.7

Resta $1$ de $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 {(2 - x)}^{3} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.8

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 {(2 - x)}^{3} + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.4

Como $- 16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 16$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 {(2 - x)}^{3} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.5

Suma $- 4 {(2 - x)}^{3}$ y $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 {(2 - x)}^{3}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 {(2 - x)}^{3}}{1}$

Paso 1.4

Divide $- 4 {(2 - x)}^{3}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} - 4 {(2 - x)}^{3}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $- 4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- 4 lim_{x \to 0} {(2 - x)}^{3}$

Paso 2.2

Mueve el exponente $3$ de ${(2 - x)}^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$- 4 {(lim_{x \to 0} 2 - x)}^{3}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$- 4 {(lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} x)}^{3}$

Paso 2.4

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$- 4 {(2 - lim_{x \to 0} x)}^{3}$

Paso 2.5

Simplifica los términos.

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Paso 2.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$- 4 {(2 + 0)}^{3}$

Paso 2.5.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.5.2.1

Suma $2$ y $0$ .

$- 4 \cdot 2^{3}$

Paso 2.5.2.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$- 4 \cdot 8$

Paso 2.5.2.3

Multiplica $- 4$ por $8$ .

$- 32$