Precálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) - \cos (x)}{4 x^{2}}$

Paso 1

Mueve el término $\frac{1}{4}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) - \cos (x)}{x^{2}}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (5 x) - \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (5 x) - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 2.1.2.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} 5 x) - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 2.1.2.3

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 2.1.2.4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 2.1.2.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\cos (5 \cdot 0) - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 2.1.2.5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\cos (5 \cdot 0) - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 2.1.2.6

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.6.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.6.1.1

Multiplica $5$ por $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\cos (0) - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 2.1.2.6.1.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 2.1.2.6.1.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 2.1.2.6.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 2.1.2.6.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.3.1

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Paso 2.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0^{2}}$

Paso 2.1.3.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 2.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) - \cos (x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (5 x) - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (5 x) - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\cos (5 x) - \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 2.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 5 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 2.3.3.1.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (u) \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 2.3.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 2.3.3.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (5 x) \cdot 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 2.3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 2.3.3.4

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (5 x) \cdot 5 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 2.3.3.5

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin (5 x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 2.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin (5 x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 2.3.4.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin (5 x) - - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 2.3.4.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin (5 x) + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 2.3.4.4

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin (5 x) + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 2.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin (5 x) + \sin (x)}{2 x}$

Paso 3

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin (5 x) + \sin (x)}{x}$

Paso 4

Aplica la regla de l'Hôpital

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} - 5 \sin (5 x) + \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 4.1.2

Evalúa el límite del numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{- lim_{x \to 0} 5 \sin (5 x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 4.1.2.2

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 5 lim_{x \to 0} \sin (5 x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 4.1.2.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 5 \sin (lim_{x \to 0} 5 x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 4.1.2.4

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 5 \sin (5 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 4.1.2.5

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 5 \sin (5 lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 4.1.2.6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 5 \sin (5 \cdot 0) + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 4.1.2.6.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 5 \sin (5 \cdot 0) + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 4.1.2.7

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.7.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.7.1.1

Multiplica $5$ por $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 5 \sin (0) + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 4.1.2.7.1.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 5 \cdot 0 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 4.1.2.7.1.3

Multiplica $- 5$ por $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{0 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 4.1.2.7.1.4

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 4.1.2.7.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 4.1.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{0}$

Paso 4.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{0}$

Paso 4.2

$lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin (5 x) + \sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 5 \sin (5 x) + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 4.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 5 \sin (5 x) + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 4.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- 5 \sin (5 x) + \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 5 \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 5 \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 4.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 \sin (5 x)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.3.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 \sin (5 x)$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 4.3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 5 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 4.3.3.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \cos (u) \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 4.3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 4.3.3.3

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \cos (5 x) \cdot 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 4.3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 4.3.3.5

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \cos (5 x) \cdot 5 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 4.3.3.6

Mueve $5$ a la izquierda de $\cos (5 x)$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \cdot 5 \cdot \cos (5 x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 4.3.3.7

Multiplica $5$ por $- 5$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 25 \cos (5 x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 4.3.4

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 25 \cos (5 x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 4.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 25 \cos (5 x) + \cos (x)}{1}$

Paso 4.4

Divide $- 25 \cos (5 x) + \cos (x)$ por $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} - 25 \cos (5 x) + \cos (x)$

Paso 5

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} (- lim_{x \to 0} 25 \cos (5 x) + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Paso 5.2

Mueve el término $25$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} (- 25 lim_{x \to 0} \cos (5 x) + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Paso 5.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} (- 25 \cos (lim_{x \to 0} 5 x) + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Paso 5.4

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} (- 25 \cos (5 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Paso 5.5

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} (- 25 \cos (5 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x))$

Paso 6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} (- 25 \cos (5 \cdot 0) + \cos (lim_{x \to 0} x))$

Paso 6.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} (- 25 \cos (5 \cdot 0) + \cos (0))$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Multiplica $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 2} (- 25 \cos (5 \cdot 0) + \cos (0))$

Paso 7.1.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{1}{8} (- 25 \cos (5 \cdot 0) + \cos (0))$

Paso 7.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Multiplica $5$ por $0$ .

$\frac{1}{8} (- 25 \cos (0) + \cos (0))$

Paso 7.2.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{8} (- 25 \cdot 1 + \cos (0))$

Paso 7.2.3

Multiplica $- 25$ por $1$ .

$\frac{1}{8} (- 25 + \cos (0))$

Paso 7.2.4

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{8} (- 25 + 1)$

Paso 7.3

Suma $- 25$ y $1$ .

$\frac{1}{8} \cdot - 24$

Paso 7.4

Cancela el factor común de $8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.4.1

Factoriza $8$ de $- 24$ .

$\frac{1}{8} \cdot (8 (- 3))$

Paso 7.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{8} \cdot (8 \cdot - 3)$

Paso 7.4.3

Reescribe la expresión.

$- 3$