Precálculo Ejemplos

$lim_{x \to 8} {(\frac{2 x - 1}{x + 2})}^{\frac{1}{x - 3}}$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 1.1

Reescribe ${(\frac{2 x - 1}{x + 2})}^{\frac{1}{x - 3}}$ como $e^{\ln ({(\frac{2 x - 1}{x + 2})}^{\frac{1}{x - 3}})}$ .

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(\frac{2 x - 1}{x + 2})}^{\frac{1}{x - 3}})}$

Paso 1.2

Expande $\ln ({(\frac{2 x - 1}{x + 2})}^{\frac{1}{x - 3}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{x - 3}$ fuera del logaritmo.

$lim_{x \to 8} e^{\frac{1}{x - 3} \ln (\frac{2 x - 1}{x + 2})}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{lim_{x \to 8} \frac{1}{x - 3} \ln (\frac{2 x - 1}{x + 2})}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} \frac{1}{x - 3} \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{2 x - 1}{x + 2})}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$e^{\frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x - 3} \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{2 x - 1}{x + 2})}$

Paso 2.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x - 3} \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{2 x - 1}{x + 2})}$

Paso 2.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 3} \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{2 x - 1}{x + 2})}$

Paso 2.6

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3} \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{2 x - 1}{x + 2})}$

Paso 2.7

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3} \cdot \ln (lim_{x \to 8} \frac{2 x - 1}{x + 2})}$

Paso 2.8

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3} \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} 2 x - 1}{lim_{x \to 8} x + 2})}$

Paso 2.9

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3} \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} 2 x - lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x + 2})}$

Paso 2.10

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3} \cdot \ln (\frac{2 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x + 2})}$

Paso 2.11

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3} \cdot \ln (\frac{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} x + 2})}$

Paso 2.12

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3} \cdot \ln (\frac{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 2})}$

Paso 2.13

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3} \cdot \ln (\frac{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} x + 2})}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$e^{\frac{1}{8 - 1 \cdot 3} \cdot \ln (\frac{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} x + 2})}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$e^{\frac{1}{8 - 1 \cdot 3} \cdot \ln (\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} x + 2})}$

Paso 3.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$e^{\frac{1}{8 - 1 \cdot 3} \cdot \ln (\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 1}{8 + 2})}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$e^{\frac{1}{8 - 3} \cdot \ln (\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 1}{8 + 2})}$

Paso 4.1.2

Resta $3$ de $8$ .

$e^{\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 1}{8 + 2})}$

Paso 4.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.1

Multiplica $2$ por $8$ .

$e^{\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{16 - 1 \cdot 1}{8 + 2})}$

Paso 4.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e^{\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{16 - 1}{8 + 2})}$

Paso 4.2.3

Resta $1$ de $16$ .

$e^{\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{15}{8 + 2})}$

Paso 4.3

Suma $8$ y $2$ .

$e^{\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{15}{10})}$

Paso 4.4

Cancela el factor común de $15$ y $10$ .

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Paso 4.4.1

Factoriza $5$ de $15$ .

$e^{\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{5 (3)}{10})}$

Paso 4.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.4.2.1

Factoriza $5$ de $10$ .

$e^{\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 2})}$

Paso 4.4.2.2

Cancela el factor común.

$e^{\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 2})}$

Paso 4.4.2.3

Reescribe la expresión.

$e^{\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{3}{2})}$

Paso 4.5

Combina $\frac{1}{5}$ y $\ln (\frac{3}{2})$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{3}{2})}{5}}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$e^{\frac{\ln (\frac{3}{2})}{5}}$

Forma decimal:

$1.08447177 \dots$