Precálculo Ejemplos

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 x^{3} - 1}{6 x^{2} - 5 x + 1}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x^{3} - 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x^{3} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Paso 1.1.2.1.2

Mueve el término $8$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{8 lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{3} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Paso 1.1.2.1.3

Mueve el exponente $3$ de $x^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{8 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{3} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Paso 1.1.2.1.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{8 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{3} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{1}{2}$ para $x$ .

$\frac{8 {(\frac{1}{2})}^{3} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{8 \frac{1^{3}}{2^{3}} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{8 \frac{1}{2^{3}} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Paso 1.1.2.3.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{8 (\frac{1}{8}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Paso 1.1.2.3.1.4

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 1.1.2.3.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 (\frac{1}{8}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Paso 1.1.2.3.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Paso 1.1.2.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Paso 1.1.2.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 5 x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

Paso 1.1.3.2

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{6 lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 5 x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

Paso 1.1.3.3

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 5 x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

Paso 1.1.3.4

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - 5 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

Paso 1.1.3.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0}{6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - 5 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 1}$

Paso 1.1.3.6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $\frac{1}{2}$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.3.6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{1}{2}$ para $x$ .

$\frac{0}{6 {(\frac{1}{2})}^{2} - 5 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 1}$

Paso 1.1.3.6.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{1}{2}$ para $x$ .

$\frac{0}{6 {(\frac{1}{2})}^{2} - 5 (\frac{1}{2}) + 1}$

Paso 1.1.3.7

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.7.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0}{6 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 5 (\frac{1}{2}) + 1}$

Paso 1.1.3.7.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{0}{6 \frac{1}{2^{2}} - 5 (\frac{1}{2}) + 1}$

Paso 1.1.3.7.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{0}{6 (\frac{1}{4}) - 5 (\frac{1}{2}) + 1}$

Paso 1.1.3.7.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.1.3.7.1.4.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{0}{2 (3) \frac{1}{4} - 5 (\frac{1}{2}) + 1}$

Paso 1.1.3.7.1.4.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{0}{2 \cdot 3 \frac{1}{2 \cdot 2} - 5 (\frac{1}{2}) + 1}$

Paso 1.1.3.7.1.4.3

Cancela el factor común.

$\frac{0}{2 \cdot 3 \frac{1}{2 \cdot 2} - 5 (\frac{1}{2}) + 1}$

Paso 1.1.3.7.1.4.4

Reescribe la expresión.

$\frac{0}{3 (\frac{1}{2}) - 5 (\frac{1}{2}) + 1}$

Paso 1.1.3.7.1.5

Combina $3$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0}{\frac{3}{2} - 5 (\frac{1}{2}) + 1}$

Paso 1.1.3.7.1.6

Combina $- 5$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0}{\frac{3}{2} + \frac{- 5}{2} + 1}$

Paso 1.1.3.7.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{0}{\frac{3}{2} - \frac{5}{2} + 1}$

Paso 1.1.3.7.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{0}{1 + \frac{3 - 5}{2}}$

Paso 1.1.3.7.3

Resta $5$ de $3$ .

$\frac{0}{1 + \frac{- 2}{2}}$

Paso 1.1.3.7.4

Divide $- 2$ por $2$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Paso 1.1.3.7.5

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.7.6

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.8

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 x^{3} - 1}{6 x^{2} - 5 x + 1} = lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [8 x^{3} - 1]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 5 x + 1]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [8 x^{3} - 1]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 5 x + 1]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $8 x^{3} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 5 x + 1]}$

Paso 1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

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Paso 1.3.3.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x^{3}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 5 x + 1]}$

Paso 1.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 5 x + 1]}$

Paso 1.3.3.3

Multiplica $3$ por $8$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 5 x + 1]}$

Paso 1.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2} + 0}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 5 x + 1]}$

Paso 1.3.5

Suma $24 x^{2}$ y $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2}}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 5 x + 1]}$

Paso 1.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x^{2} - 5 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2}}{\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 1.3.7

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Paso 1.3.7.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{2}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2}}{6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 1.3.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2}}{6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 1.3.7.3

Multiplica $2$ por $6$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2}}{12 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 1.3.8

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Paso 1.3.8.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2}}{12 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 1.3.8.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2}}{12 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 1.3.8.3

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2}}{12 x - 5 + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 1.3.9

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2}}{12 x - 5 + 0}$

Paso 1.3.10

Suma $12 x - 5$ y $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2}}{12 x - 5}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $24$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$24 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{x^{2}}{12 x - 5}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{1}{2}$ .

$24 \frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2}}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 12 x - 5}$

Paso 2.3

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$24 \frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2}}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 12 x - 5}$

Paso 2.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{1}{2}$ .

$24 \frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2}}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 12 x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 5}$

Paso 2.5

Mueve el término $12$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$24 \frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2}}{12 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 5}$

Paso 2.6

Evalúa el límite de $5$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\frac{1}{2}$ .

$24 \frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2}}{12 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 5}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $\frac{1}{2}$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{1}{2}$ para $x$ .

$24 \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{12 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 5}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{1}{2}$ para $x$ .

$24 \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{12 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 5}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$24 \frac{\frac{1^{2}}{2^{2}}}{12 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 5}$

Paso 4.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$24 \frac{\frac{1}{2^{2}}}{12 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 5}$

Paso 4.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$24 \frac{\frac{1}{4}}{12 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 5}$

Paso 4.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$24 \frac{\frac{1}{4}}{2 (6) \frac{1}{2} - 1 \cdot 5}$

Paso 4.2.1.2

Cancela el factor común.

$24 \frac{\frac{1}{4}}{2 \cdot 6 \frac{1}{2} - 1 \cdot 5}$

Paso 4.2.1.3

Reescribe la expresión.

$24 \frac{\frac{1}{4}}{6 - 1 \cdot 5}$

Paso 4.2.2

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$24 \frac{\frac{1}{4}}{6 - 5}$

Paso 4.2.3

Resta $5$ de $6$ .

$24 \frac{\frac{1}{4}}{1}$

Paso 4.3

Divide $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$24 (\frac{1}{4})$

Paso 4.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.4.1

Factoriza $4$ de $24$ .

$4 (6) \frac{1}{4}$

Paso 4.4.2

Cancela el factor común.

$4 \cdot 6 \frac{1}{4}$

Paso 4.4.3

Reescribe la expresión.

$6$