Precálculo Ejemplos

$lim_{x \to 7} \frac{2 - \sqrt{x - 3}}{x^{2} - 49}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 7} 2 - \sqrt{x - 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $7$ .

$\frac{lim_{x \to 7} 2 - lim_{x \to 7} \sqrt{x - 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Paso 1.1.2.1.2

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $7$ .

$\frac{2 - lim_{x \to 7} \sqrt{x - 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Paso 1.1.2.1.3

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{2 - \sqrt{lim_{x \to 7} x - 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Paso 1.1.2.1.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $7$ .

$\frac{2 - \sqrt{lim_{x \to 7} x - lim_{x \to 7} 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Paso 1.1.2.1.5

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $7$ .

$\frac{2 - \sqrt{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $7$ para $x$ .

$\frac{2 - \sqrt{7 - 1 \cdot 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{2 - \sqrt{7 - 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Resta $3$ de $7$ .

$\frac{2 - \sqrt{4}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Paso 1.1.2.3.1.3

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{2^{2}}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Paso 1.1.2.3.1.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Paso 1.1.2.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Paso 1.1.2.3.2

Resta $2$ de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $7$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 7} x^{2} - lim_{x \to 7} 49}$

Paso 1.1.3.1.2

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 7} x)}^{2} - lim_{x \to 7} 49}$

Paso 1.1.3.1.3

Evalúa el límite de $49$ que es constante cuando $x$ se acerca a $7$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 7} x)}^{2} - 1 \cdot 49}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $7$ para $x$ .

$\frac{0}{7^{2} - 1 \cdot 49}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.3.1.1

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$\frac{0}{49 - 1 \cdot 49}$

Paso 1.1.3.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $49$ .

$\frac{0}{49 - 49}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $49$ de $49$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 7} \frac{2 - \sqrt{x - 3}}{x^{2} - 49} = lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x - 3}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x - 3}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 - \sqrt{x - 3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Paso 1.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$ .

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Paso 1.3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x - 3}$ como ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Paso 1.3.4.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Paso 1.3.4.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x - 3$ .

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Paso 1.3.4.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 3$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 3])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Paso 1.3.4.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Paso 1.3.4.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 3$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Paso 1.3.4.4

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Paso 1.3.4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 3]))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Paso 1.3.4.6

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Paso 1.3.4.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Paso 1.3.4.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Paso 1.3.4.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Paso 1.3.4.10

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.4.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Paso 1.3.4.10.2

Resta $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Paso 1.3.4.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Paso 1.3.4.12

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Paso 1.3.4.13

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{{(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Paso 1.3.4.14

Multiplica $\frac{{(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ por $1$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - \frac{{(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Paso 1.3.4.15

Mueve ${(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Paso 1.3.5

Resta $\frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ de $0$ .

$lim_{x \to 7} \frac{- \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Paso 1.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 49$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 49]$ .

$lim_{x \to 7} \frac{- \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 49]}$

Paso 1.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 7} \frac{- \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + \frac{d}{d x} [- 49]}$

Paso 1.3.8

Como $- 49$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 49$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 7} \frac{- \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 0}$

Paso 1.3.9

Suma $2 x$ y $0$ .

$lim_{x \to 7} \frac{- \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Paso 1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 7} - \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x}$

Paso 1.5

Reescribe ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x - 3}$ .

$lim_{x \to 7} - \frac{1}{2 \sqrt{x - 3}} \cdot \frac{1}{2 x}$

Paso 1.6

Combina factores.

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Paso 1.6.1

Multiplica $\frac{1}{2 x}$ por $\frac{1}{2 \sqrt{x - 3}}$ .

$lim_{x \to 7} - \frac{1}{2 x (2 \sqrt{x - 3})}$

Paso 1.6.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$lim_{x \to 7} - \frac{1}{4 x \sqrt{x - 3}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- lim_{x \to 7} \frac{1}{4 x \sqrt{x - 3}}$

Paso 2.2

Mueve el término $\frac{1}{4}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- \frac{1}{4} lim_{x \to 7} \frac{1}{x \sqrt{x - 3}}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $7$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 7} 1}{lim_{x \to 7} x \sqrt{x - 3}}$

Paso 2.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $7$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 7} x \sqrt{x - 3}}$

Paso 2.5

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $7$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 7} x \cdot lim_{x \to 7} \sqrt{x - 3}}$

Paso 2.6

Mueve el límite debajo del signo radical.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 7} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 7} x - 3}}$

Paso 2.7

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $7$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 7} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 7} x - lim_{x \to 7} 3}}$

Paso 2.8

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $7$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 7} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 3}}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $7$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $7$ para $x$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{7 \cdot \sqrt{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 3}}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $7$ para $x$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{7 \cdot \sqrt{7 - 1 \cdot 3}}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{7 \sqrt{7 - 3}}$

Paso 4.1.2

Resta $3$ de $7$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{7 \sqrt{4}}$

Paso 4.1.3

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{7 \sqrt{2^{2}}}$

Paso 4.1.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{7 \cdot 2}$

Paso 4.2

Multiplica $7$ por $2$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{14}$

Paso 4.3

Multiplica $- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{14}$ .

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Paso 4.3.1

Multiplica $\frac{1}{14}$ por $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{14 \cdot 4}$

Paso 4.3.2

Multiplica $14$ por $4$ .

$- \frac{1}{56}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{1}{56}$

Forma decimal:

$- 0.01785714 \dots$