Precálculo Ejemplos

$\sum_{i = 0}^{8} 256 + {(\frac{3}{2})}^{i}$

Paso 1

Divide la suma para hacer que el valor inicial de $i$ sea igual a $1$ .

$\sum_{k = 0}^{8} 256 + {(\frac{3}{2})}^{i} = \sum_{k = 1}^{8} 256 + {(\frac{3}{2})}^{i} + \sum_{k = 0}^{0} 256 + {(\frac{3}{2})}^{i}$

Paso 2

Evalúa $\sum_{k = 1}^{8} 256 + {(\frac{3}{2})}^{i}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Divide la suma en sumas más pequeñas de acuerdo con la reglas de suma.

$\sum_{k = 1}^{8} 256 + {(\frac{3}{2})}^{i} = \sum_{k = 1}^{8} 256 + \sum_{k = 1}^{8} {(\frac{3}{2})}^{i}$

Paso 2.2

Evalúa $\sum_{k = 1}^{8} 256$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

La fórmula para la suma de una constante es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Paso 2.2.2

Sustituye los valores en la fórmula.

$(256) (8)$

Paso 2.2.3

Multiplica $256$ por $8$ .

$2048$

Paso 2.3

Evalúa $\sum_{k = 1}^{8} {(\frac{3}{2})}^{i}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

La suma de una serie geométrica finita se puede obtener mediante la fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ donde $a$ es el primer término y $r$ es la razón entre los términos sucesivos.

Paso 2.3.2

Obtén la razón de los términos sucesivos mediante la inserción en la fórmula $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ y la simplificación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1

Sustituye $a_{k}$ y $a_{k + 1}$ en la fórmula por $r$ .

$r = \frac{{(\frac{3}{2})}^{i + 1}}{{(\frac{3}{2})}^{i}}$

Paso 2.3.2.2

Cancela el factor común de ${(\frac{3}{2})}^{i + 1}$ y ${(\frac{3}{2})}^{i}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.2.1

Factoriza ${(\frac{3}{2})}^{i}$ de ${(\frac{3}{2})}^{i + 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{3}{2})}^{i} \frac{3}{2}}{{(\frac{3}{2})}^{i}}$

Paso 2.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$r = \frac{{(\frac{3}{2})}^{i} \frac{3}{2}}{{(\frac{3}{2})}^{i} \cdot 1}$

Paso 2.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$r = \frac{{(\frac{3}{2})}^{i} \frac{3}{2}}{{(\frac{3}{2})}^{i} \cdot 1}$

Paso 2.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$r = \frac{\frac{3}{2}}{1}$

Paso 2.3.2.2.2.4

Divide $\frac{3}{2}$ por $1$ .

$r = \frac{3}{2}$

Paso 2.3.3

Obtén el primer término en la serie mediante la sustitución de la cota inferior y la simplificación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.1

Sustituye $1$ por $i$ en ${(\frac{3}{2})}^{i}$ .

$a = {(\frac{3}{2})}^{1}$

Paso 2.3.3.2

Simplifica.

$a = \frac{3}{2}$

Paso 2.3.4

Sustituye los valores de la razón, el primer término y el número de términos en la fórmula de suma.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1 - {(\frac{3}{2})}^{8}}{1 - \frac{3}{2}}$

Paso 2.3.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.5.1.1

Multiplica $\frac{1 - {(\frac{3}{2})}^{8}}{1 - \frac{3}{2}}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{2}{2} \cdot \frac{1 - {(\frac{3}{2})}^{8}}{1 - \frac{3}{2}})$

Paso 2.3.5.1.2

Combinar.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 (1 - {(\frac{3}{2})}^{8})}{2 (1 - \frac{3}{2})}$

Paso 2.3.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{3}{2})}^{8})}{2 \cdot 1 + 2 (- \frac{3}{2})}$

Paso 2.3.5.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.5.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{2}$ al numerador.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{3}{2})}^{8})}{2 \cdot 1 + 2 (\frac{- 3}{2})}$

Paso 2.3.5.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{3}{2})}^{8})}{2 \cdot 1 + 2 (\frac{- 3}{2})}$

Paso 2.3.5.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{3}{2})}^{8})}{2 \cdot 1 - 3}$

Paso 2.3.5.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.5.4.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + 2 (- {(\frac{3}{2})}^{8})}{2 \cdot 1 - 3}$

Paso 2.3.5.4.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + 2 (- \frac{3^{8}}{2^{8}})}{2 \cdot 1 - 3}$

Paso 2.3.5.4.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.5.4.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3^{8}}{2^{8}}$ al numerador.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + 2 \frac{- 3^{8}}{2^{8}}}{2 \cdot 1 - 3}$

Paso 2.3.5.4.3.2

Factoriza $2$ de $2^{8}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + 2 \frac{- 3^{8}}{2 \cdot 2^{7}}}{2 \cdot 1 - 3}$

Paso 2.3.5.4.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + 2 \frac{- 3^{8}}{2 \cdot 2^{7}}}{2 \cdot 1 - 3}$

Paso 2.3.5.4.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + \frac{- 3^{8}}{2^{7}}}{2 \cdot 1 - 3}$

Paso 2.3.5.4.4

Eleva $3$ a la potencia de $8$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + \frac{- 1 \cdot 6561}{2^{7}}}{2 \cdot 1 - 3}$

Paso 2.3.5.4.5

Eleva $2$ a la potencia de $7$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + \frac{- 1 \cdot 6561}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

Paso 2.3.5.4.6

Multiplica $- 1$ por $6561$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + \frac{- 6561}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

Paso 2.3.5.4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 - \frac{6561}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

Paso 2.3.5.4.8

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{128}{128}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 \cdot \frac{128}{128} - \frac{6561}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

Paso 2.3.5.4.9

Combina $2$ y $\frac{128}{128}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{2 \cdot 128}{128} - \frac{6561}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

Paso 2.3.5.4.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{2 \cdot 128 - 6561}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

Paso 2.3.5.4.11

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.5.4.11.1

Multiplica $2$ por $128$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{256 - 6561}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

Paso 2.3.5.4.11.2

Resta $6561$ de $256$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{- 6305}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

Paso 2.3.5.4.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- \frac{6305}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

Paso 2.3.5.5

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.5.5.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- \frac{6305}{128}}{2 - 3}$

Paso 2.3.5.5.2

Resta $3$ de $2$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- \frac{6305}{128}}{- 1}$

Paso 2.3.5.6

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{6305}{128}}{1}$

Paso 2.3.5.7

Divide $\frac{6305}{128}$ por $1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{6305}{128}$

Paso 2.3.5.8

Multiplica $\frac{3}{2} \cdot \frac{6305}{128}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.5.8.1

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{6305}{128}$ .

$\frac{3 \cdot 6305}{2 \cdot 128}$

Paso 2.3.5.8.2

Multiplica $3$ por $6305$ .

$\frac{18915}{2 \cdot 128}$

Paso 2.3.5.8.3

Multiplica $2$ por $128$ .

$\frac{18915}{256}$

Paso 2.4

Suma los resultados de las sumas.

$2048 + \frac{18915}{256}$

Paso 2.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Para escribir $2048$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{256}{256}$ .

$2048 \cdot \frac{256}{256} + \frac{18915}{256}$

Paso 2.5.2

Combina $2048$ y $\frac{256}{256}$ .

$\frac{2048 \cdot 256}{256} + \frac{18915}{256}$

Paso 2.5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2048 \cdot 256 + 18915}{256}$

Paso 2.5.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.4.1

Multiplica $2048$ por $256$ .

$\frac{524288 + 18915}{256}$

Paso 2.5.4.2

Suma $524288$ y $18915$ .

$\frac{543203}{256}$

Paso 3

Evalúa $\sum_{k = 0}^{0} 256 + {(\frac{3}{2})}^{i}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Expande la serie para cada valor de $i$ .

$256 + {(\frac{3}{2})}^{0}$

Paso 3.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$256 + \frac{3^{0}}{2^{0}}$

Paso 3.2.1.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$256 + \frac{1}{2^{0}}$

Paso 3.2.1.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$256 + \frac{1}{1}$

Paso 3.2.1.4

Divide $1$ por $1$ .

$256 + 1$

Paso 3.2.2

Suma $256$ y $1$ .

$257$

Paso 4

Reemplaza las sumas con los valores obtenidos.

$\frac{543203}{256} + 257$

Paso 5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Para escribir $257$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{256}{256}$ .

$\frac{543203}{256} + 257 \cdot \frac{256}{256}$

Paso 5.2

Combina $257$ y $\frac{256}{256}$ .

$\frac{543203}{256} + \frac{257 \cdot 256}{256}$

Paso 5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{543203 + 257 \cdot 256}{256}$

Paso 5.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1

Multiplica $257$ por $256$ .

$\frac{543203 + 65792}{256}$

Paso 5.4.2

Suma $543203$ y $65792$ .

$\frac{608995}{256}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{608995}{256}$

Forma decimal:

$2378.88671875$

Forma de número mixto:

$2378 \frac{227}{256}$