Precálculo Ejemplos

$\sum_{1}^{10} {(x - 14)}^{2}$

Paso 1

Simplifica la suma.

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Paso 1.1

Reescribe ${(x - 14)}^{2}$ como $(x - 14) (x - 14)$ .

$(x - 14) (x - 14)$

Paso 1.2

Expande $(x - 14) (x - 14)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (x - 14) - 14 (x - 14)$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 14 - 14 (x - 14)$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 14 - 14 x - 14 \cdot - 14$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 14 - 14 x - 14 \cdot - 14$

Paso 1.3.1.2

Mueve $- 14$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} - 14 \cdot x - 14 x - 14 \cdot - 14$

Paso 1.3.1.3

Multiplica $- 14$ por $- 14$ .

$x^{2} - 14 x - 14 x + 196$

Paso 1.3.2

Resta $14 x$ de $- 14 x$ .

$x^{2} - 28 x + 196$

Paso 1.4

Reescribe la suma.

$\sum_{x = 1}^{10} x^{2} - 28 x + 196$

Paso 2

Divide la suma en sumas más pequeñas de acuerdo con la reglas de suma.

$\sum_{x = 1}^{10} x^{2} - 28 x + 196 = \sum_{x = 1}^{10} x^{2} - 28 \sum_{x = 1}^{10} x + \sum_{x = 1}^{10} 196$

Paso 3

Evalúa $\sum_{x = 1}^{10} x^{2}$ .

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Paso 3.1

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $2$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Paso 3.2

Sustituye los valores en la fórmula.

$\frac{10 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1)}{6}$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común de $10$ y $6$ .

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Paso 3.3.1.1

Factoriza $2$ de $10 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1)$ .

$\frac{2 (5 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1))}{6}$

Paso 3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 (5 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1))}{2 (3)}$

Paso 3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (5 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1))}{2 \cdot 3}$

Paso 3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1)}{3}$

Paso 3.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.2.1

Multiplica $2$ por $10$ .

$\frac{5 (10 + 1) (20 + 1)}{3}$

Paso 3.3.2.2

Suma $10$ y $1$ .

$\frac{5 \cdot 11 (20 + 1)}{3}$

Paso 3.3.2.3

Multiplica $5$ por $11$ .

$\frac{55 (20 + 1)}{3}$

Paso 3.3.2.4

Suma $20$ y $1$ .

$\frac{55 \cdot 21}{3}$

Paso 3.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.3.1

Multiplica $55$ por $21$ .

$\frac{1155}{3}$

Paso 3.3.3.2

Divide $1155$ por $3$ .

$385$

Paso 4

Evalúa $28 \sum_{x = 1}^{10} x$ .

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Paso 4.1

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $1$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Paso 4.2

Sustituye los valores en la fórmula y asegúrate de multiplicar por el término frontal.

$(- 28) (\frac{10 (10 + 1)}{2})$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.1.1

Suma $10$ y $1$ .

$- 28 \frac{10 \cdot 11}{2}$

Paso 4.3.1.2

Multiplica $10$ por $11$ .

$- 28 (\frac{110}{2})$

Paso 4.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.2.1

Factoriza $2$ de $- 28$ .

$2 (- 14) \frac{110}{2}$

Paso 4.3.2.2

Cancela el factor común.

$2 \cdot - 14 \frac{110}{2}$

Paso 4.3.2.3

Reescribe la expresión.

$- 14 \cdot 110$

Paso 4.3.3

Multiplica $- 14$ por $110$ .

$- 1540$

Paso 5

Evalúa $\sum_{x = 1}^{10} 196$ .

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Paso 5.1

La fórmula para la suma de una constante es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Paso 5.2

Sustituye los valores en la fórmula.

$(196) (10)$

Paso 5.3

Multiplica $196$ por $10$ .

$1960$

Paso 6

Suma los resultados de las sumas.

$385 - 1540 + 1960$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Resta $1540$ de $385$ .

$- 1155 + 1960$

Paso 7.2

Suma $- 1155$ y $1960$ .

$805$