Precálculo Ejemplos

$\sum_{i = 1}^{50} 2^{2 i}$

Paso 1

La suma de una serie geométrica finita se puede obtener mediante la fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ donde $a$ es el primer término y $r$ es la razón entre los términos sucesivos.

Paso 2

Obtén la razón de los términos sucesivos mediante la inserción en la fórmula $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ y la simplificación.

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Paso 2.1

Sustituye $a_{i}$ y $a_{i + 1}$ en la fórmula por $r$ .

$r = \frac{2^{2 (i + 1)}}{2^{2 i}}$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $2^{2 (i + 1)}$ y $2^{2 i}$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $2^{2 i}$ de $2^{2 (i + 1)}$ .

$r = \frac{2^{2 i} \cdot 2^{2 (i + 1) - 2 i}}{2^{2 i}}$

Paso 2.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.1.2.1

Multiplica por $1$ .

$r = \frac{2^{2 i} \cdot 2^{2 (i + 1) - 2 i}}{2^{2 i} \cdot 1}$

Paso 2.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$r = \frac{2^{2 i} \cdot 2^{2 (i + 1) - 2 i}}{2^{2 i} \cdot 1}$

Paso 2.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$r = \frac{2^{2 (i + 1) - 2 i}}{1}$

Paso 2.2.1.2.4

Divide $2^{2 (i + 1) - 2 i}$ por $1$ .

$r = 2^{2 (i + 1) - 2 i}$

Paso 2.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$r = 2^{2 i + 2 \cdot 1 - 2 i}$

Paso 2.2.2.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$r = 2^{2 i + 2 - 2 i}$

Paso 2.2.3

Combina los términos opuestos en $2 i + 2 - 2 i$ .

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Paso 2.2.3.1

Resta $2 i$ de $2 i$ .

$r = 2^{0 + 2}$

Paso 2.2.3.2

Suma $0$ y $2$ .

$r = 2^{2}$

Paso 2.2.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$r = 4$

Paso 3

Obtén el primer término en la serie mediante la sustitución de la cota inferior y la simplificación.

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Paso 3.1

Sustituye $1$ por $i$ en $2^{2 i}$ .

$a = 2^{2 \cdot 1}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$a = 2^{2}$

Paso 3.2.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$a = 4$

Paso 4

Sustituye los valores de la razón, el primer término y el número de términos en la fórmula de suma.

$4 \frac{1 - 4^{50}}{1 - 1 \cdot 4}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Simplifica el denominador.

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Paso 5.1.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$4 \frac{1 - 4^{50}}{1 - 4}$

Paso 5.1.2

Resta $4$ de $1$ .

$4 \frac{1 - 4^{50}}{- 3}$

Paso 5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$4 (- \frac{1 - 4^{50}}{3})$

Paso 5.3

Multiplica $4 (- \frac{1 - 4^{50}}{3})$ .

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Paso 5.3.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$- 4 \frac{1 - 4^{50}}{3}$

Paso 5.3.2

Combina $- 4$ y $\frac{1 - 4^{50}}{3}$ .

$\frac{- 4 (1 - 4^{50})}{3}$

Paso 5.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4 (1 - 4^{50})}{3}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{4 (1 - 4^{50})}{3}$

Forma decimal:

$1.6902008 \cdot 10^{30}$