Precálculo Ejemplos

$\ln (\frac{e^{4}}{\sqrt[5]{e}})$

Paso 1

Multiplica $\frac{e^{4}}{\sqrt[5]{e}}$ por $\frac{{\sqrt[5]{e}}^{4}}{{\sqrt[5]{e}}^{4}}$ .

$\ln (\frac{e^{4}}{\sqrt[5]{e}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{e}}^{4}}{{\sqrt[5]{e}}^{4}})$

Paso 2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{e^{4}}{\sqrt[5]{e}}$ por $\frac{{\sqrt[5]{e}}^{4}}{{\sqrt[5]{e}}^{4}}$ .

$\ln (\frac{e^{4} {\sqrt[5]{e}}^{4}}{\sqrt[5]{e} {\sqrt[5]{e}}^{4}})$

Paso 2.2

Eleva $\sqrt[5]{e}$ a la potencia de $1$ .

$\ln (\frac{e^{4} {\sqrt[5]{e}}^{4}}{{\sqrt[5]{e}}^{1} {\sqrt[5]{e}}^{4}})$

Paso 2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\ln (\frac{e^{4} {\sqrt[5]{e}}^{4}}{{\sqrt[5]{e}}^{1 + 4}})$

Paso 2.4

Suma $1$ y $4$ .

$\ln (\frac{e^{4} {\sqrt[5]{e}}^{4}}{{\sqrt[5]{e}}^{5}})$

Paso 2.5

Reescribe ${\sqrt[5]{e}}^{5}$ como $e$ .

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Paso 2.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[5]{e}$ como $e^{\frac{1}{5}}$ .

$\ln (\frac{e^{4} {\sqrt[5]{e}}^{4}}{{(e^{\frac{1}{5}})}^{5}})$

Paso 2.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{e^{4} {\sqrt[5]{e}}^{4}}{e^{\frac{1}{5} \cdot 5}})$

Paso 2.5.3

Combina $\frac{1}{5}$ y $5$ .

$\ln (\frac{e^{4} {\sqrt[5]{e}}^{4}}{e^{\frac{5}{5}}})$

Paso 2.5.4

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 2.5.4.1

Cancela el factor común.

$\ln (\frac{e^{4} {\sqrt[5]{e}}^{4}}{e^{\frac{5}{5}}})$

Paso 2.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\ln (\frac{e^{4} {\sqrt[5]{e}}^{4}}{e^{1}})$

Paso 2.5.5

Simplifica.

$\ln (\frac{e^{4} {\sqrt[5]{e}}^{4}}{e})$

Paso 3

Cancela el factor común de $e^{4}$ y $e$ .

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Paso 3.1

Factoriza $e$ de $e^{4} {\sqrt[5]{e}}^{4}$ .

$\ln (\frac{e (e^{3} {\sqrt[5]{e}}^{4})}{e})$

Paso 3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.1

Multiplica por $1$ .

$\ln (\frac{e (e^{3} {\sqrt[5]{e}}^{4})}{e \cdot 1})$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común.

$\ln (\frac{e (e^{3} {\sqrt[5]{e}}^{4})}{e \cdot 1})$

Paso 3.2.3

Reescribe la expresión.

$\ln (\frac{e^{3} {\sqrt[5]{e}}^{4}}{1})$

Paso 3.2.4

Divide $e^{3} {\sqrt[5]{e}}^{4}$ por $1$ .

$\ln (e^{3} {\sqrt[5]{e}}^{4})$

Paso 4

Reescribe $\ln (e^{3} {\sqrt[5]{e}}^{4})$ como $\ln (e^{3}) + \ln ({\sqrt[5]{e}}^{4})$ .

$\ln (e^{3}) + \ln ({\sqrt[5]{e}}^{4})$

Paso 5

Usa las reglas de logaritmos para mover $3$ fuera del exponente.

$3 \ln (e) + \ln ({\sqrt[5]{e}}^{4})$

Paso 6

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$3 \cdot 1 + \ln ({\sqrt[5]{e}}^{4})$

Paso 7

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 + \ln ({\sqrt[5]{e}}^{4})$

Paso 8

Expande $\ln ({\sqrt[5]{e}}^{4})$ ; para ello, mueve $4$ fuera del logaritmo.

$3 + 4 \ln (\sqrt[5]{e})$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$3 + 4 \ln (\sqrt[5]{e})$

Forma decimal:

$3.8$