Precálculo Ejemplos

$8 \log_{2} (\sqrt{3 x - 2}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Simplifica $8 \log_{2} (\sqrt{3 x - 2})$ al mover $8$ dentro del algoritmo.

$\log_{2} ({\sqrt{3 x - 2}}^{8}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

Paso 1.2

Reescribe ${\sqrt{3 x - 2}}^{8}$ como ${(3 x - 2)}^{4}$ .

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Paso 1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 x - 2}$ como ${(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{2} ({({(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{8}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

Paso 1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 8}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

Paso 1.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $8$ .

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{\frac{8}{2}}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

Paso 1.2.4

Cancela el factor común de $8$ y $2$ .

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Paso 1.2.4.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{\frac{2 \cdot 4}{2}}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

Paso 1.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

Paso 1.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

Paso 1.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{\frac{4}{1}}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

Paso 1.2.4.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{4}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

Paso 1.3

El logaritmo en base $2$ de $4$ es $2$ .

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{4}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + 2$

Paso 2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{{(3 x - 2)}^{4}}{\frac{4}{x}}) + 2$

Paso 3

Simplifica cada término.

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Paso 3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{4} \frac{x}{4}) + 2$

Paso 3.2

Combina ${(3 x - 2)}^{4}$ y $\frac{x}{4}$ .

$\log_{2} (\frac{{(3 x - 2)}^{4} x}{4}) + 2$

Paso 4

Reordena los factores en $\log_{2} (\frac{{(3 x - 2)}^{4} x}{4}) + 2$ .

$\log_{2} (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4}) + 2$

Paso 5

Reescribe $\log_{2} (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4})$ con el cambio de fórmula base.

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Paso 5.1

La regla de cambio de base puede usarse si $a$ y $b$ son mayores que $0$ y no iguales a $1$ , y si $x$ es mayor que $0$ .

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} + 2$

Paso 5.2

Sustituye los valores por las variables en la fórmula de cambio de base mediante $b = 10$ .

$\frac{\log (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4})}{\log (2)} + 2$

Paso 6

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\log (2)}{\log (2)}$ .

$\frac{\log (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4})}{\log (2)} + \frac{2 \log (2)}{\log (2)}$

Paso 7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\log (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4}) + 2 \log (2)}{\log (2)}$

Paso 8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1

Simplifica $2 \log (2)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\frac{\log (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4}) + \log (2^{2})}{\log (2)}$

Paso 8.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\log (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4}) + \log (4)}{\log (2)}$

Paso 8.3

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\log (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4} \cdot 4)}{\log (2)}$

Paso 8.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 8.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\log (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4} \cdot 4)}{\log (2)}$

Paso 8.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\log (x {(3 x - 2)}^{4})}{\log (2)}$