Precálculo Ejemplos

$\tan (\frac{23 π}{12})$

Paso 1

Primero, divide el ángulo en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas. En este caso, $\frac{23 π}{12}$ se puede dividir en $\frac{5 π}{3} + \frac{π}{4}$ .

$\tan (\frac{5 π}{3} + \frac{π}{4})$

Paso 2

Usa la fórmula de suma para la tangente para simplificar la expresión. La fórmula establece que $\tan (A + B) = \frac{\tan (A) + \tan (B)}{1 - \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{\tan (\frac{5 π}{3}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Paso 3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque la tangente es negativa en el cuarto cuadrante.

$\frac{- \tan (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Paso 3.2

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{3})$ es $\sqrt{3}$ .

$\frac{- \sqrt{3} + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Paso 3.3

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{4})$ es $1$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 - \tan (\frac{5 π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Paso 4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 - - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Paso 4.2

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{3})$ es $\sqrt{3}$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 - - \sqrt{3} \tan (\frac{π}{4})}$

Paso 4.3

Multiplica $- - \sqrt{3}$ .

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Paso 4.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + 1 \sqrt{3} \tan (\frac{π}{4})}$

Paso 4.3.2

Multiplica $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3} \tan (\frac{π}{4})}$

Paso 4.4

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{4})$ es $1$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3} \cdot 1}$

Paso 4.5

Multiplica $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3}}$

Paso 5

Multiplica $\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3}}$ por $\frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3}} \cdot \frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$

Paso 6

Combina fracciones.

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Paso 6.1

Multiplica $\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3}}$ por $\frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{(- \sqrt{3} + 1) (1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}$

Paso 6.2

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{(- \sqrt{3} + 1) (1 - \sqrt{3})}{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 6.3

Simplifica.

$\frac{(- \sqrt{3} + 1) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Reordena los términos.

$\frac{(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Paso 7.2

Eleva $1 - \sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{1} (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Paso 7.3

Eleva $1 - \sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{1} {(1 - \sqrt{3})}^{1}}{- 2}$

Paso 7.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{- 2}$

Paso 7.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}{- 2}$

Paso 8

Reescribe ${(1 - \sqrt{3})}^{2}$ como $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ .

$\frac{(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Paso 9

Expande $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 (1 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Paso 9.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Paso 9.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{- 2}$

Paso 10

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 10.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{- 2}$

Paso 10.1.2

Multiplica $- \sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{- 2}$

Paso 10.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{- 2}$

Paso 10.1.4

Multiplica $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Paso 10.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Paso 10.1.4.2

Multiplica $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Paso 10.1.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{- 2}$

Paso 10.1.4.4

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{- 2}$

Paso 10.1.4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{- 2}$

Paso 10.1.4.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{- 2}$

Paso 10.1.5

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 10.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{- 2}$

Paso 10.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{- 2}$

Paso 10.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{- 2}$

Paso 10.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{- 2}$

Paso 10.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{1}}{- 2}$

Paso 10.1.5.5

Evalúa el exponente.

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3}{- 2}$

Paso 10.2

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{4 - \sqrt{3} - \sqrt{3}}{- 2}$

Paso 10.3

Resta $\sqrt{3}$ de $- \sqrt{3}$ .

$\frac{4 - 2 \sqrt{3}}{- 2}$

Paso 11

Cancela el factor común de $4 - 2 \sqrt{3}$ y $- 2$ .

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Paso 11.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 (2) - 2 \sqrt{3}}{- 2}$

Paso 11.2

Factoriza $2$ de $- 2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (2) + 2 (- \sqrt{3})}{- 2}$

Paso 11.3

Factoriza $2$ de $2 (2) + 2 (- \sqrt{3})$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{- 2}$

Paso 11.4

Mueve el negativo del denominador de $\frac{2 - \sqrt{3}}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (2 - \sqrt{3})$

Paso 12

Reescribe $- 1 \cdot (2 - \sqrt{3})$ como $- (2 - \sqrt{3})$ .

$- (2 - \sqrt{3})$

Paso 13

Aplica la propiedad distributiva.

$- 1 \cdot 2 - - \sqrt{3}$

Paso 14

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 - - \sqrt{3}$

Paso 15

Multiplica $- - \sqrt{3}$ .

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Paso 15.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- 2 + 1 \sqrt{3}$

Paso 15.2

Multiplica $\sqrt{3}$ por $1$ .

$- 2 + \sqrt{3}$

Paso 16

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- 2 + \sqrt{3}$

Forma decimal:

$- 0.26794919 \dots$