Precálculo Ejemplos

$\sin (\arcsin (x) + \arccos (x))$

Paso 1

Usa la fórmula de suma para el seno para simplificar la expresión. La fórmula establece que $\sin (A + B) = \sin (A) \cos (B) + \cos (A) \sin (B)$ .

$\sin (\arcsin (x)) \cos (\arccos (x)) + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (x))$

Paso 2

Elimina los paréntesis.

$\sin (\arcsin (x)) \cos (\arccos (x)) + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (x))$

Paso 3

Simplifica cada término.

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Paso 3.1

Las funciones seno y arcoseno son inversas.

$x \cos (\arccos (x)) + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (x))$

Paso 3.2

Las funciones coseno y arcocoseno son inversas.

$x \cdot x + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (x))$

Paso 3.3

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (x))$

Paso 3.4

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ , $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, 0)$ y el origen. Entonces $\arcsin (x)$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ . Por lo tanto, $\cos (\arcsin (x))$ es $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$x^{2} + \sqrt{1 - x^{2}} \sin (\arccos (x))$

Paso 3.5

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$x^{2} + \sqrt{1^{2} - x^{2}} \sin (\arccos (x))$

Paso 3.6

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$x^{2} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sin (\arccos (x))$

Paso 3.7

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ , $(x, 0)$ y el origen. Entonces $\arccos (x)$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ . Por lo tanto, $\sin (\arccos (x))$ es $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$x^{2} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{1 - x^{2}}$

Paso 3.8

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$x^{2} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{1^{2} - x^{2}}$

Paso 3.9

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$x^{2} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Paso 3.10

Multiplica $\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

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Paso 3.10.1

Eleva $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} + {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Paso 3.10.2

Eleva $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} + {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1}$

Paso 3.10.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{2} + {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}$

Paso 3.10.4

Suma $1$ y $1$ .

$x^{2} + {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$

Paso 3.11

Reescribe ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ como $(1 + x) (1 - x)$ .

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Paso 3.11.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ como ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} + {({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 3.11.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 3.11.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x^{2} + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Paso 3.11.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.11.4.1

Cancela el factor común.

$x^{2} + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Paso 3.11.4.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} + {((1 + x) (1 - x))}^{1}$

Paso 3.11.5

Simplifica.

$x^{2} + (1 + x) (1 - x)$

Paso 3.12

Expande $(1 + x) (1 - x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 1 (1 - x) + x (1 - x)$

Paso 3.12.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)$

Paso 3.12.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)$

Paso 3.13

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.13.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.13.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$x^{2} + 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)$

Paso 3.13.1.2

Multiplica $- x$ por $1$ .

$x^{2} + 1 - x + x \cdot 1 + x (- x)$

Paso 3.13.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$x^{2} + 1 - x + x + x (- x)$

Paso 3.13.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{2} + 1 - x + x - x \cdot x$

Paso 3.13.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.13.1.5.1

Mueve $x$ .

$x^{2} + 1 - x + x - (x \cdot x)$

Paso 3.13.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + 1 - x + x - x^{2}$

Paso 3.13.2

Suma $- x$ y $x$ .

$x^{2} + 1 + 0 - x^{2}$

Paso 3.13.3

Suma $1$ y $0$ .

$x^{2} + 1 - x^{2}$

Paso 4

Combina los términos opuestos en $x^{2} + 1 - x^{2}$ .

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Paso 4.1

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$0 + 1$

Paso 4.2

Suma $0$ y $1$ .

$1$