Precálculo Ejemplos

$\cos (\frac{3 π}{4} - \frac{7 π}{4})$

Paso 1

Usa la fórmula de diferencia para el coseno para simplificar la expresión. La fórmula establece que $\cos (A - B) = \cos (A) \cos (B) + \sin (A) \sin (B)$ .

$\cos (\frac{3 π}{4}) \cdot \cos (\frac{7 π}{4}) + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Paso 2

Elimina los paréntesis.

$\cos (\frac{3 π}{4}) \cdot \cos (\frac{7 π}{4}) + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Paso 3

Simplifica cada término.

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Paso 3.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$- \cos (\frac{π}{4}) \cdot \cos (\frac{7 π}{4}) + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Paso 3.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{7 π}{4}) + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Paso 3.3

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Paso 3.4

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Paso 3.5

Multiplica $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 3.5.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Paso 3.5.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Paso 3.5.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Paso 3.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Paso 3.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Paso 3.5.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Paso 3.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Paso 3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Paso 3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Paso 3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.6.4.1

Cancela el factor común.

$- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Paso 3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{2^{1}}{4} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Paso 3.6.5

Evalúa el exponente.

$- \frac{2}{4} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Paso 3.7

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 3.7.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- \frac{2 (1)}{4} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Paso 3.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.7.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Paso 3.7.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Paso 3.7.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Paso 3.8

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$- \frac{1}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Paso 3.9

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Paso 3.10

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \sin (\frac{π}{4}))$

Paso 3.11

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 3.12

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Paso 3.12.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.12.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.12.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.12.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.12.5

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.12.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Paso 3.13

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 3.13.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Paso 3.13.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Paso 3.13.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Paso 3.13.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.13.4.1

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Paso 3.13.4.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{2} - \frac{2^{1}}{4}$

Paso 3.13.5

Evalúa el exponente.

$- \frac{1}{2} - \frac{2}{4}$

Paso 3.14

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 3.14.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{2 (1)}{4}$

Paso 3.14.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.14.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Paso 3.14.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Paso 3.14.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 4

Combina fracciones.

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Paso 4.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 1 - 1}{2}$

Paso 4.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.1

Resta $1$ de $- 1$ .

$\frac{- 2}{2}$

Paso 4.2.2

Divide $- 2$ por $2$ .

$- 1$