Precálculo Ejemplos

$\csc (\frac{15 π}{8})$

Paso 1

Reemplaza $\csc (\frac{15 π}{8})$ con una expresión equivalente $\frac{1}{\sin (\frac{15 π}{8})}$ con las identidades fundamentales.

$\frac{1}{\sin (\frac{15 π}{8})}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Convierte de $\frac{1}{\sin (\frac{15 π}{8})}$ a $\csc (\frac{15 π}{8})$ .

$\csc (\frac{15 π}{8})$

Paso 2.2

El valor exacto de $\csc (\frac{15 π}{8})$ es $- \frac{2}{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}$ .

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Paso 2.2.1

Reescribe $\frac{15 π}{8}$ como un ángulo donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas dividido por $2$ .

$\csc (\frac{\frac{15 π}{4}}{2})$

Paso 2.2.2

Aplica la identidad recíproca a $\csc (\frac{\frac{15 π}{4}}{2})$ .

$\frac{1}{\sin (\frac{\frac{15 π}{4}}{2})}$

Paso 2.2.3

Aplica la razón del ángulo mitad del seno.

$\frac{1}{\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{15 π}{4})}{2}}}$

Paso 2.2.4

Change the $\pm$ to $-$ because cosecant is negative in the fourth quadrant.

$\frac{1}{- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{15 π}{4})}{2}}}$

Paso 2.2.5

Simplifica $\frac{1}{- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{15 π}{4})}{2}}}$ .

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Paso 2.2.5.1

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 2.2.5.1.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{15 π}{4})}{2}}}$

Paso 2.2.5.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{15 π}{4})}{2}}}$

Paso 2.2.5.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.5.2.1

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{2}}}$

Paso 2.2.5.2.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}}$

Paso 2.2.5.2.3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}$

Paso 2.2.5.2.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}$

Paso 2.2.5.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}}$

Paso 2.2.5.3

Simplifica el denominador.

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Paso 2.2.5.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}}$

Paso 2.2.5.3.2

Multiplica $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 2.2.5.3.2.1

Multiplica $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}}$

Paso 2.2.5.3.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}}$

Paso 2.2.5.3.3

Reescribe $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$- \frac{1}{\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}}$

Paso 2.2.5.3.4

Simplifica el denominador.

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Paso 2.2.5.3.4.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$- \frac{1}{\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}}$

Paso 2.2.5.3.4.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$- \frac{1}{\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}}$

Paso 2.2.5.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- (1 \frac{2}{\sqrt{2 - \sqrt{2}}})$

Paso 2.2.5.5

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}$ por $1$ .

$- \frac{2}{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}$

Paso 3

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{2}{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}$

Forma decimal:

$- 2.61312592 \dots$