Precálculo Ejemplos

$\csc (\frac{5 π}{12})$

Paso 1

Reemplaza $\csc (\frac{5 π}{12})$ con una expresión equivalente $\frac{1}{\sin (\frac{5 π}{12})}$ con las identidades fundamentales.

$\frac{1}{\sin (\frac{5 π}{12})}$

Paso 2

Usa una fórmula de suma o diferencia en el denominador.

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Paso 2.1

Primero, divide el ángulo en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas. En este caso, $\frac{5 π}{12}$ se puede dividir en $\frac{π}{6} + \frac{π}{4}$ .

$\frac{1}{\sin (\frac{π}{6} + \frac{π}{4})}$

Paso 2.2

Usa la fórmula de suma para el seno para simplificar la expresión. La fórmula establece que $\sin (A + B) = \sin (A) \cos (B) + \cos (A) \sin (B)$ .

$\frac{1}{\sin (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})}$

Paso 2.3

Elimina los paréntesis.

$\frac{1}{\sin (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})}$

Paso 2.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})}$

Paso 2.4.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})}$

Paso 2.4.3

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 2.4.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})}$

Paso 2.4.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})}$

Paso 2.4.4

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{4})}$

Paso 2.4.5

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Paso 2.4.6

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 2.4.6.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Paso 2.4.6.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}}$

Paso 2.4.6.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}}$

Paso 2.4.6.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}}$

Paso 3.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$1 \frac{4}{\sqrt{2} + \sqrt{6}}$

Paso 3.3

Multiplica $\frac{4}{\sqrt{2} + \sqrt{6}}$ por $1$ .

$\frac{4}{\sqrt{2} + \sqrt{6}}$

Paso 3.4

Multiplica $\frac{4}{\sqrt{2} + \sqrt{6}}$ por $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{\sqrt{2} - \sqrt{6}}$ .

$\frac{4}{\sqrt{2} + \sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{\sqrt{2} - \sqrt{6}}$

Paso 3.5

Multiplica $\frac{4}{\sqrt{2} + \sqrt{6}}$ por $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{\sqrt{2} - \sqrt{6}}$ .

$\frac{4 (\sqrt{2} - \sqrt{6})}{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{2} - \sqrt{6})}$

Paso 3.6

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{4 (\sqrt{2} - \sqrt{6})}{{\sqrt{2}}^{2} - \sqrt{12} + \sqrt{12} - {\sqrt{6}}^{2}}$

Paso 3.7

Simplifica.

$\frac{4 (\sqrt{2} - \sqrt{6})}{- 4}$

Paso 3.8

Simplifica la expresión.

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Paso 3.8.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (\sqrt{2} - \sqrt{6})$

Paso 3.8.2

Reescribe $- 1 \cdot (\sqrt{2} - \sqrt{6})$ como $- (\sqrt{2} - \sqrt{6})$ .

$- (\sqrt{2} - \sqrt{6})$

Paso 3.9

Aplica la propiedad distributiva.

$- \sqrt{2} - - \sqrt{6}$

Paso 3.10

Multiplica $- - \sqrt{6}$ .

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Paso 3.10.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \sqrt{2} + 1 \sqrt{6}$

Paso 3.10.2

Multiplica $\sqrt{6}$ por $1$ .

$- \sqrt{2} + \sqrt{6}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \sqrt{2} + \sqrt{6}$

Forma decimal:

$1.03527618 \dots$