Precálculo Ejemplos

$(\cot (x) - \csc (x)) (\cos (x) + 1) = - \sin (x)$

Paso 1

Comienza por el lado izquierdo.

$(\cot (x) - \csc (x)) (\cos (x) + 1)$

Paso 2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Reescribe $\cot (x)$ en términos de senos y cosenos.

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \csc (x)) (\cos (x) + 1)$

Paso 2.1.2

Reescribe $\csc (x)$ en términos de senos y cosenos.

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}) (\cos (x) + 1)$

Paso 2.2

Expande $(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}) (\cos (x) + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\cos (x) + 1) - \frac{1}{\sin (x)} (\cos (x) + 1)$

Paso 2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 - \frac{1}{\sin (x)} (\cos (x) + 1)$

Paso 2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 - \frac{1}{\sin (x)} \cos (x) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1$

Paso 2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1

Multiplica $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x)$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Combina $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ y $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 - \frac{1}{\sin (x)} \cos (x) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1$

Paso 2.3.1.1.2

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 - \frac{1}{\sin (x)} \cos (x) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1$

Paso 2.3.1.1.3

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 - \frac{1}{\sin (x)} \cos (x) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1$

Paso 2.3.1.1.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 - \frac{1}{\sin (x)} \cos (x) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1$

Paso 2.3.1.1.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 - \frac{1}{\sin (x)} \cos (x) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1$

Paso 2.3.1.2

Multiplica $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ por $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \cos (x) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1$

Paso 2.3.1.3

Combina $\cos (x)$ y $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1$

Paso 2.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}$

Paso 2.3.2

Resta $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + 0 - \frac{1}{\sin (x)}$

Paso 2.3.3

Suma $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$ y $0$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\cos^{2} (x) - 1}{\sin (x)}$

Paso 2.5

Reordena $\cos^{2} (x)$ y $- 1$ .

$\frac{- 1 + \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Paso 2.6

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) + \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Paso 2.7

Factoriza $- 1$ de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))}{\sin (x)}$

Paso 2.8

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$\frac{- 1 (1 - \cos^{2} (x))}{\sin (x)}$

Paso 2.9

Reescribe $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ como $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$\frac{- (1 - \cos^{2} (x))}{\sin (x)}$

Paso 2.10

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{- \sin^{2} (x)}{\sin (x)}$

Paso 2.11

Cancela el factor común de $\sin^{2} (x)$ y $\sin (x)$ .

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Paso 2.11.1

Factoriza $\sin (x)$ de $- \sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x)}$

Paso 2.11.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.11.2.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1}$

Paso 2.11.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1}$

Paso 2.11.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- \sin (x)}{1}$

Paso 2.11.2.4

Divide $- \sin (x)$ por $1$ .

$- \sin (x)$

Paso 3

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$(\cot (x) - \csc (x)) (\cos (x) + 1) = - \sin (x)$ es una identidad