Precálculo Ejemplos

$\frac{1}{\sec (x) - 1} + \frac{1}{\sec (x) + 1} = 2 \sec (x) \cot^{2} (x)$

Paso 1

Comienza por el lado izquierdo.

$\frac{1}{\sec (x) - 1} + \frac{1}{\sec (x) + 1}$

Paso 2

Suma fracciones.

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Paso 2.1

Para escribir $\frac{1}{\sec (x) - 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\sec (x) + 1}{\sec (x) + 1}$ .

$\frac{1}{\sec (x) - 1} \cdot \frac{\sec (x) + 1}{\sec (x) + 1} + \frac{1}{\sec (x) + 1}$

Paso 2.2

Para escribir $\frac{1}{\sec (x) + 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\sec (x) - 1}{\sec (x) - 1}$ .

$\frac{1}{\sec (x) - 1} \cdot \frac{\sec (x) + 1}{\sec (x) + 1} + \frac{1}{\sec (x) + 1} \cdot \frac{\sec (x) - 1}{\sec (x) - 1}$

Paso 2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(\sec (x) - 1) (\sec (x) + 1)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.3.1

Multiplica $\frac{1}{\sec (x) - 1}$ por $\frac{\sec (x) + 1}{\sec (x) + 1}$ .

$\frac{\sec (x) + 1}{(\sec (x) - 1) (\sec (x) + 1)} + \frac{1}{\sec (x) + 1} \cdot \frac{\sec (x) - 1}{\sec (x) - 1}$

Paso 2.3.2

Multiplica $\frac{1}{\sec (x) + 1}$ por $\frac{\sec (x) - 1}{\sec (x) - 1}$ .

$\frac{\sec (x) + 1}{(\sec (x) - 1) (\sec (x) + 1)} + \frac{\sec (x) - 1}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

Paso 2.3.3

Reordena los factores de $(\sec (x) - 1) (\sec (x) + 1)$ .

$\frac{\sec (x) + 1}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)} + \frac{\sec (x) - 1}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sec (x) + 1 + \sec (x) - 1}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

Paso 3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1

Suma $\sec (x)$ y $\sec (x)$ .

$\frac{2 \sec (x) + 1 - 1}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

Paso 3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{2 \sec (x) + 0}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

Paso 3.3

Suma $2 \sec (x)$ y $0$ .

$\frac{2 \sec (x)}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

Paso 4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1

Expande $(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \sec (x)}{\sec (x) (\sec (x) - 1) + 1 (\sec (x) - 1)}$

Paso 4.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \sec (x)}{\sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot - 1 + 1 (\sec (x) - 1)}$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \sec (x)}{\sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot - 1 + 1 \sec (x) + 1 \cdot - 1}$

Paso 4.2

Simplifica y combina los términos similares.

$\frac{2 \sec (x)}{\sec^{2} (x) - 1}$

Paso 5

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{2 \sec (x)}{\tan^{2} (x)}$

Paso 6

Convierte a senos y cosenos.

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Paso 6.1

Aplica la identidad recíproca a $\sec (x)$ .

$\frac{2 \frac{1}{\cos (x)}}{\tan^{2} (x)}$

Paso 6.2

Escribe $\tan (x)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

$\frac{2 \frac{1}{\cos (x)}}{{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Paso 6.3

Aplica la regla del producto a $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{2 \frac{1}{\cos (x)}}{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 \frac{1}{\cos (x)} \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Paso 7.2

Combina $2$ y $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{2}{\cos (x)} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Paso 7.3

Combinar.

$\frac{2 {\cos (x)}^{2}}{\cos (x) {\sin (x)}^{2}}$

Paso 7.4

Cancela el factor común de ${\cos (x)}^{2}$ y $\cos (x)$ .

$\frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Paso 8

Reescribe $\frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ como $2 \sec (x) \cot^{2} (x)$ .

$2 \sec (x) \cot^{2} (x)$

Paso 9

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\frac{1}{\sec (x) - 1} + \frac{1}{\sec (x) + 1} = 2 \sec (x) \cot^{2} (x)$ es una identidad