Precálculo Ejemplos

$lim_{n \to \infty} \frac{4 n^{3} + 7 n^{2}}{5 n^{3} - 7 n^{2} + 3}$

Paso 1

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $n$ en el denominador, que es $n^{3}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{4 n^{3}}{n^{3}} + \frac{7 n^{2}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{- 7 n^{2}}{n^{3}} + \frac{3}{n^{3}}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Cancela el factor común de $n^{3}$ .

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Paso 2.1.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{4 n^{3}}{n^{3}} + \frac{7 n^{2}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{- 7 n^{2}}{n^{3}} + \frac{3}{n^{3}}}$

Paso 2.1.1.2

Divide $4$ por $1$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{4 + \frac{7 n^{2}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{- 7 n^{2}}{n^{3}} + \frac{3}{n^{3}}}$

Paso 2.1.2

Cancela el factor común de $n^{2}$ y $n^{3}$ .

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $n^{2}$ de $7 n^{2}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{4 + \frac{n^{2} \cdot 7}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{- 7 n^{2}}{n^{3}} + \frac{3}{n^{3}}}$

Paso 2.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.2.2.1

Factoriza $n^{2}$ de $n^{3}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{4 + \frac{n^{2} \cdot 7}{n^{2} n}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{- 7 n^{2}}{n^{3}} + \frac{3}{n^{3}}}$

Paso 2.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{n \to \infty} \frac{4 + \frac{n^{2} \cdot 7}{n^{2} n}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{- 7 n^{2}}{n^{3}} + \frac{3}{n^{3}}}$

Paso 2.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{n \to \infty} \frac{4 + \frac{7}{n}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{- 7 n^{2}}{n^{3}} + \frac{3}{n^{3}}}$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $n^{3}$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{n \to \infty} \frac{4 + \frac{7}{n}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{- 7 n^{2}}{n^{3}} + \frac{3}{n^{3}}}$

Paso 2.2.1.2

Divide $5$ por $1$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{4 + \frac{7}{n}}{5 + \frac{- 7 n^{2}}{n^{3}} + \frac{3}{n^{3}}}$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de $n^{2}$ y $n^{3}$ .

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Paso 2.2.2.1

Factoriza $n^{2}$ de $- 7 n^{2}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{4 + \frac{7}{n}}{5 + \frac{n^{2} \cdot - 7}{n^{3}} + \frac{3}{n^{3}}}$

Paso 2.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.2.1

Factoriza $n^{2}$ de $n^{3}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{4 + \frac{7}{n}}{5 + \frac{n^{2} \cdot - 7}{n^{2} n} + \frac{3}{n^{3}}}$

Paso 2.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{n \to \infty} \frac{4 + \frac{7}{n}}{5 + \frac{n^{2} \cdot - 7}{n^{2} n} + \frac{3}{n^{3}}}$

Paso 2.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{n \to \infty} \frac{4 + \frac{7}{n}}{5 + \frac{- 7}{n} + \frac{3}{n^{3}}}$

Paso 2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{n \to \infty} \frac{4 + \frac{7}{n}}{5 - \frac{7}{n} + \frac{3}{n^{3}}}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $n$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{n \to \infty} 4 + \frac{7}{n}}{lim_{n \to \infty} 5 - \frac{7}{n} + \frac{3}{n^{3}}}$

Paso 2.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $n$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{n \to \infty} 4 + lim_{n \to \infty} \frac{7}{n}}{lim_{n \to \infty} 5 - \frac{7}{n} + \frac{3}{n^{3}}}$

Paso 2.5

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $n$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{4 + lim_{n \to \infty} \frac{7}{n}}{lim_{n \to \infty} 5 - \frac{7}{n} + \frac{3}{n^{3}}}$

Paso 2.6

Mueve el término $7$ fuera del límite porque es constante con respecto a $n$ .

$\frac{4 + 7 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}{lim_{n \to \infty} 5 - \frac{7}{n} + \frac{3}{n^{3}}}$

Paso 3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{n}$ se acerca a $0$ .

$\frac{4 + 7 \cdot 0}{lim_{n \to \infty} 5 - \frac{7}{n} + \frac{3}{n^{3}}}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $n$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{4 + 7 \cdot 0}{lim_{n \to \infty} 5 - lim_{n \to \infty} \frac{7}{n} + lim_{n \to \infty} \frac{3}{n^{3}}}$

Paso 4.2

Evalúa el límite de $5$ que es constante cuando $n$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{4 + 7 \cdot 0}{5 - lim_{n \to \infty} \frac{7}{n} + lim_{n \to \infty} \frac{3}{n^{3}}}$

Paso 4.3

Mueve el término $7$ fuera del límite porque es constante con respecto a $n$ .

$\frac{4 + 7 \cdot 0}{5 - 7 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} + lim_{n \to \infty} \frac{3}{n^{3}}}$

Paso 5

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{n}$ se acerca a $0$ .

$\frac{4 + 7 \cdot 0}{5 - 7 \cdot 0 + lim_{n \to \infty} \frac{3}{n^{3}}}$

Paso 6

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $n$ .

$\frac{4 + 7 \cdot 0}{5 - 7 \cdot 0 + 3 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}}$

Paso 7

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{n^{3}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{4 + 7 \cdot 0}{5 - 7 \cdot 0 + 3 \cdot 0}$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1.1

Multiplica $7$ por $0$ .

$\frac{4 + 0}{5 - 7 \cdot 0 + 3 \cdot 0}$

Paso 8.1.2

Suma $4$ y $0$ .

$\frac{4}{5 - 7 \cdot 0 + 3 \cdot 0}$

Paso 8.2

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.1

Multiplica $- 7$ por $0$ .

$\frac{4}{5 + 0 + 3 \cdot 0}$

Paso 8.2.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{4}{5 + 0 + 0}$

Paso 8.2.3

Suma $5 + 0$ y $0$ .

$\frac{4}{5 + 0}$

Paso 8.2.4

Suma $5$ y $0$ .

$\frac{4}{5}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{4}{5}$

Forma decimal:

$0.8$