Precálculo Ejemplos

$\csc (x) (\csc (x) - \sin (x)) + \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)} + \cot (x) = \csc^{2} (x)$

Paso 1

Comienza por el lado izquierdo.

$\csc (x) (\csc (x) - \sin (x)) + \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)} + \cot (x)$

Paso 2

Convierte a senos y cosenos.

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Paso 2.1

Aplica la identidad recíproca a $\csc (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} (\csc (x) - \sin (x)) + \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)} + \cot (x)$

Paso 2.2

Aplica la identidad recíproca a $\csc (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)) + \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)} + \cot (x)$

Paso 2.3

Escribe $\cot (x)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

$\frac{1}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)) + \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)) + \frac{\sin (x) - \cos (x) + \cos (x)}{\sin (x)}$

Paso 3.2

Suma $- \cos (x)$ y $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)) + \frac{\sin (x) + 0}{\sin (x)}$

Paso 3.3

Suma $\sin (x)$ y $0$ .

$\frac{1}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Paso 3.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x)) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Paso 3.4.2

Multiplica $\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ .

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Paso 3.4.2.1

Multiplica $\frac{1}{\sin (x)}$ por $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x)) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Paso 3.4.2.2

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x)) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Paso 3.4.2.3

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}} + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x)) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Paso 3.4.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x)) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Paso 3.4.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x)) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Paso 3.4.3

Cancela el factor común de $\sin (x)$ .

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Paso 3.4.3.1

Factoriza $\sin (x)$ de $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{\sin (x)} (\sin (x) \cdot - 1) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Paso 3.4.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{\sin (x)} (\sin (x) \cdot - 1) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Paso 3.4.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1 + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Paso 3.4.4

Cancela el factor común de $\sin (x)$ .

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Paso 3.4.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1 + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Paso 3.4.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1 + 1$

Paso 3.5

Suma $- 1$ y $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + 0$

Paso 3.6

Suma $\frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ y $0$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Paso 4

Reescribe $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ como $\csc^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x)$

Paso 5

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\csc (x) (\csc (x) - \sin (x)) + \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)} + \cot (x) = \csc^{2} (x)$ es una identidad