Precálculo Ejemplos

$\sin (x) + \cos (x) = \frac{\sin (x)}{1 - \cot (x)} + \frac{\cos (x)}{1 - \tan (x)}$

Paso 1

Comienza por el lado derecho.

$\frac{\sin (x)}{1 - \cot (x)} + \frac{\cos (x)}{1 - \tan (x)}$

Paso 2

Convierte a senos y cosenos.

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Paso 2.1

Escribe $\cot (x)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

$\frac{\sin (x)}{1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + \frac{\cos (x)}{1 - \tan (x)}$

Paso 2.2

Escribe $\tan (x)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

$\frac{\sin (x)}{1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + \frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 3.1.1.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{\sin (x)}{\frac{\sin (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + \frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Paso 3.1.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sin (x)}{\frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)}} + \frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Paso 3.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\sin (x) \frac{\sin (x)}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Paso 3.1.3

Multiplica $\sin (x) \frac{\sin (x)}{\sin (x) - \cos (x)}$ .

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Paso 3.1.3.1

Combina $\sin (x)$ y $\frac{\sin (x)}{\sin (x) - \cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Paso 3.1.3.2

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Paso 3.1.3.3

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Paso 3.1.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Paso 3.1.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Paso 3.1.4

Simplifica el denominador.

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Paso 3.1.4.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Paso 3.1.4.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\frac{\cos (x) - \sin (x)}{\cos (x)}}$

Paso 3.1.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \cos (x) \frac{\cos (x)}{\cos (x) - \sin (x)}$

Paso 3.1.6

Multiplica $\cos (x) \frac{\cos (x)}{\cos (x) - \sin (x)}$ .

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Paso 3.1.6.1

Combina $\cos (x)$ y $\frac{\cos (x)}{\cos (x) - \sin (x)}$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) - \sin (x)}$

Paso 3.1.6.2

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{{\cos (x)}^{1} \cos (x)}{\cos (x) - \sin (x)}$

Paso 3.1.6.3

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}}{\cos (x) - \sin (x)}$

Paso 3.1.6.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) - \sin (x)}$

Paso 3.1.6.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{\cos (x) - \sin (x)}$

Paso 3.2

Factoriza $- 1$ de $\cos (x)$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{- 1 (- \cos (x)) - \sin (x)}$

Paso 3.3

Factoriza $- 1$ de $- \sin (x)$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{- 1 (- \cos (x)) - (\sin (x))}$

Paso 3.4

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- \cos (x)) - (\sin (x))$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{- 1 (- \cos (x) + \sin (x))}$

Paso 3.5

Mueve un negativo del denominador de $\frac{{\cos (x)}^{2}}{- 1 (- \cos (x) + \sin (x))}$ al numerador.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{- {\cos (x)}^{2}}{- \cos (x) + \sin (x)}$

Paso 3.6

Reordena los términos.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{- {\cos (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)}$

Paso 3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{{\sin (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)}$

Paso 3.8

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \sin (x)$ y $b = \cos (x)$ .

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))}{\sin (x) - \cos (x)}$

Paso 3.9

Cancela el factor común de $\sin (x) - \cos (x)$ .

$\sin (x) + \cos (x)$

Paso 4

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\sin (x) + \cos (x) = \frac{\sin (x)}{1 - \cot (x)} + \frac{\cos (x)}{1 - \tan (x)}$ es una identidad