Precálculo Ejemplos

$2 \sec^{2} (x) = \frac{1}{1 + \sin (x)} + \frac{1}{1 - \sin (x)}$

Paso 1

Comienza por el lado derecho.

$\frac{1}{1 + \sin (x)} + \frac{1}{1 - \sin (x)}$

Paso 2

Suma fracciones.

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Paso 2.1

Para escribir $\frac{1}{1 + \sin (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$\frac{1}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)} + \frac{1}{1 - \sin (x)}$

Paso 2.2

Para escribir $\frac{1}{1 - \sin (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{1}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)} + \frac{1}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Paso 2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.3.1

Multiplica $\frac{1}{1 + \sin (x)}$ por $\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} + \frac{1}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Paso 2.3.2

Multiplica $\frac{1}{1 - \sin (x)}$ por $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} + \frac{1 + \sin (x)}{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

Paso 2.3.3

Reordena los factores de $(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} + \frac{1 + \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 - \sin (x) + 1 + \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Paso 3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 - \sin (x) + \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Paso 3.2

Suma $- \sin (x)$ y $\sin (x)$ .

$\frac{2 + 0}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Paso 3.3

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{2}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Paso 4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1

Expande $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2}{1 (1 - \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x))}$

Paso 4.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2}{1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x))}$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2}{1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x))}$

Paso 4.2

Simplifica y combina los términos similares.

$\frac{2}{1 - \sin^{2} (x)}$

Paso 5

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{2}{\cos^{2} (x)}$

Paso 6

Reescribe $\frac{2}{\cos^{2} (x)}$ como $2 \sec^{2} (x)$ .

$2 \sec^{2} (x)$

Paso 7

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$2 \sec^{2} (x) = \frac{1}{1 + \sin (x)} + \frac{1}{1 - \sin (x)}$ es una identidad