Precálculo Ejemplos

$\cos (4 u) = \cos^{2} (2 u) - \sin^{2} (2 u)$

Paso 1

Comienza por el lado derecho.

$\cos^{2} (2 u) - \sin^{2} (2 u)$

Paso 2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \cos (2 u)$ y $b = \sin (2 u)$ .

$(\cos (2 u) + \sin (2 u)) (\cos (2 u) - \sin (2 u))$

Paso 2.2

Expande $(\cos (2 u) + \sin (2 u)) (\cos (2 u) - \sin (2 u))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (2 u) (\cos (2 u) - \sin (2 u)) + \sin (2 u) (\cos (2 u) - \sin (2 u))$

Paso 2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (2 u) \cos (2 u) + \cos (2 u) (- \sin (2 u)) + \sin (2 u) (\cos (2 u) - \sin (2 u))$

Paso 2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (2 u) \cos (2 u) + \cos (2 u) (- \sin (2 u)) + \sin (2 u) \cos (2 u) + \sin (2 u) (- \sin (2 u))$

Paso 2.3

Combina los términos opuestos en $\cos (2 u) \cos (2 u) + \cos (2 u) (- \sin (2 u)) + \sin (2 u) \cos (2 u) + \sin (2 u) (- \sin (2 u))$ .

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Paso 2.3.1

Reordena los factores en los términos $\cos (2 u) (- \sin (2 u))$ y $\sin (2 u) \cos (2 u)$ .

$\cos (2 u) \cos (2 u) - \cos (2 u) \sin (2 u) + \cos (2 u) \sin (2 u) + \sin (2 u) (- \sin (2 u))$

Paso 2.3.2

Suma $- \cos (2 u) \sin (2 u)$ y $\cos (2 u) \sin (2 u)$ .

$\cos (2 u) \cos (2 u) + 0 + \sin (2 u) (- \sin (2 u))$

Paso 2.3.3

Suma $\cos (2 u) \cos (2 u)$ y $0$ .

$\cos (2 u) \cos (2 u) + \sin (2 u) (- \sin (2 u))$

Paso 2.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.1

Multiplica $\cos (2 u) \cos (2 u)$ .

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Paso 2.4.1.1

Eleva $\cos (2 u)$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{1} (2 u) \cos (2 u) + \sin (2 u) (- \sin (2 u))$

Paso 2.4.1.2

Eleva $\cos (2 u)$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{1} (2 u) \cos^{1} (2 u) + \sin (2 u) (- \sin (2 u))$

Paso 2.4.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${\cos (2 u)}^{1 + 1} + \sin (2 u) (- \sin (2 u))$

Paso 2.4.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\cos^{2} (2 u) + \sin (2 u) (- \sin (2 u))$

Paso 2.4.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\cos^{2} (2 u) - \sin (2 u) \sin (2 u)$

Paso 2.4.3

Multiplica $- \sin (2 u) \sin (2 u)$ .

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Paso 2.4.3.1

Eleva $\sin (2 u)$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{2} (2 u) - (\sin^{1} (2 u) \sin (2 u))$

Paso 2.4.3.2

Eleva $\sin (2 u)$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{2} (2 u) - (\sin^{1} (2 u) \sin^{1} (2 u))$

Paso 2.4.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\cos^{2} (2 u) - {\sin (2 u)}^{1 + 1}$

Paso 2.4.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$\cos^{2} (2 u) - \sin^{2} (2 u)$

Paso 2.5

Aplica la razón del ángulo doble del coseno.

$\cos (2 (2 u))$

Paso 2.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$\cos (4 u)$

Paso 3

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\cos (4 u) = \cos^{2} (2 u) - \sin^{2} (2 u)$ es una identidad