Precálculo Ejemplos

$\cos (x + \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (\cos (x) - \sin (x))$

Paso 1

Comienza por el lado izquierdo.

$\cos (x + \frac{π}{4})$

Paso 2

Aplica la suma de la razón de los ángulos $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$\cos (x) \cos (\frac{π}{4}) - \sin (x) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 3

Simplifica cada término.

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Paso 3.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\cos (x) \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (x) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 3.2

Combina $\cos (x)$ y $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \sin (x) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 3.3

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \sin (x) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 3.4

Combina $\frac{\sqrt{2}}{2}$ y $\sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2}$

Paso 4

Reordena los factores en $\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2}$

Paso 5

Ahora considera el lado derecho de la ecuación.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (\cos (x) - \sin (x))$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (x) + \frac{\sqrt{2}}{2} (- \sin (x))$

Paso 6.2

Combina $\frac{\sqrt{2}}{2}$ y $\cos (x)$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- \sin (x))$

Paso 6.3

Combina $\frac{\sqrt{2}}{2}$ y $\sin (x)$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2}$

Paso 7

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\cos (x + \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (\cos (x) - \sin (x))$ es una identidad