Precálculo Ejemplos

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} - \frac{1}{\sin (x)} = \cot (x)$

Paso 1

Comienza por el lado izquierdo.

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} - \frac{1}{\sin (x)}$

Paso 2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1

Para escribir $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}$

Paso 2.2

Para escribir $- \frac{1}{\sin (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$

Paso 2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(1 - \cos (x)) \sin (x)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.3.1

Multiplica $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ por $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{(1 - \cos (x)) \sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$

Paso 2.3.2

Multiplica $\frac{1}{\sin (x)}$ por $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{(1 - \cos (x)) \sin (x)} - \frac{1 - \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Paso 2.3.3

Reordena los factores de $(1 - \cos (x)) \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))} - \frac{1 - \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sin (x) \sin (x) - (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Paso 2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1

Multiplica $\sin (x) \sin (x)$ .

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Paso 2.5.1.1

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x) - (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Paso 2.5.1.2

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) - (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Paso 2.5.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} - (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Paso 2.5.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Paso 2.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sin^{2} (x) - 1 \cdot 1 - - \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Paso 2.5.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - 1 - - \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Paso 2.5.4

Multiplica $- - \cos (x)$ .

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Paso 2.5.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - 1 + 1 \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Paso 2.5.4.2

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - 1 + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Paso 2.5.5

Reordena $\sin^{2} (x)$ y $- 1$ .

$\frac{- 1 + \sin^{2} (x) + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Paso 2.5.6

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) + \sin^{2} (x) + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Paso 2.5.7

Factoriza $- 1$ de $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x)) + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Paso 2.5.8

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))$ .

$\frac{- 1 (1 - \sin^{2} (x)) + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Paso 2.5.9

Reescribe $- 1 (1 - \sin^{2} (x))$ como $- (1 - \sin^{2} (x))$ .

$\frac{- (1 - \sin^{2} (x)) + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Paso 2.5.10

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{- \cos^{2} (x) + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Paso 2.5.11

Factoriza $\cos (x)$ de $- \cos^{2} (x) + \cos (x)$ .

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Paso 2.5.11.1

Factoriza $\cos (x)$ de $- \cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (x) (- \cos (x)) + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Paso 2.5.11.2

Multiplica por $1$ .

$\frac{\cos (x) (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Paso 2.5.11.3

Factoriza $\cos (x)$ de $\cos (x) (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1$ .

$\frac{\cos (x) (- \cos (x) + 1)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Paso 2.6

Cancela el factor común de $- \cos (x) + 1$ y $1 - \cos (x)$ .

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Paso 2.6.1

Reordena los términos.

$\frac{\cos (x) (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Paso 2.6.2

Cancela el factor común.

$\frac{\cos (x) (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Paso 2.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Paso 3

Reescribe $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ como $\cot (x)$ .

$\cot (x)$

Paso 4

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} - \frac{1}{\sin (x)} = \cot (x)$ es una identidad