Precálculo Ejemplos

$\frac{\sin (a)}{1 - \cos (a)} - \cot (a) = \csc (a)$

Paso 1

Comienza por el lado izquierdo.

$\frac{\sin (a)}{1 - \cos (a)} - \cot (a)$

Paso 2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1

Reescribe $\cot (a)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{\sin (a)}{1 - \cos (a)} - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}$

Paso 2.2

Para escribir $\frac{\sin (a)}{1 - \cos (a)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\sin (a)}{\sin (a)}$ .

$\frac{\sin (a)}{1 - \cos (a)} \cdot \frac{\sin (a)}{\sin (a)} - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}$

Paso 2.3

Para escribir $- \frac{\cos (a)}{\sin (a)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 - \cos (a)}{1 - \cos (a)}$ .

$\frac{\sin (a)}{1 - \cos (a)} \cdot \frac{\sin (a)}{\sin (a)} - \frac{\cos (a)}{\sin (a)} \cdot \frac{1 - \cos (a)}{1 - \cos (a)}$

Paso 2.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(1 - \cos (a)) \sin (a)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.4.1

Multiplica $\frac{\sin (a)}{1 - \cos (a)}$ por $\frac{\sin (a)}{\sin (a)}$ .

$\frac{\sin (a) \sin (a)}{(1 - \cos (a)) \sin (a)} - \frac{\cos (a)}{\sin (a)} \cdot \frac{1 - \cos (a)}{1 - \cos (a)}$

Paso 2.4.2

Multiplica $\frac{\cos (a)}{\sin (a)}$ por $\frac{1 - \cos (a)}{1 - \cos (a)}$ .

$\frac{\sin (a) \sin (a)}{(1 - \cos (a)) \sin (a)} - \frac{\cos (a) (1 - \cos (a))}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Paso 2.4.3

Reordena los factores de $(1 - \cos (a)) \sin (a)$ .

$\frac{\sin (a) \sin (a)}{\sin (a) (1 - \cos (a))} - \frac{\cos (a) (1 - \cos (a))}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sin (a) \sin (a) - \cos (a) (1 - \cos (a))}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Paso 2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1

Multiplica $\sin (a) \sin (a)$ .

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Paso 2.6.1.1

Eleva $\sin (a)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sin^{1} (a) \sin (a) - \cos (a) (1 - \cos (a))}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Paso 2.6.1.2

Eleva $\sin (a)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sin^{1} (a) \sin^{1} (a) - \cos (a) (1 - \cos (a))}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Paso 2.6.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{\sin (a)}^{1 + 1} - \cos (a) (1 - \cos (a))}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Paso 2.6.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sin^{2} (a) - \cos (a) (1 - \cos (a))}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Paso 2.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sin^{2} (a) - \cos (a) \cdot 1 - \cos (a) (- \cos (a))}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Paso 2.6.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\sin^{2} (a) - \cos (a) - \cos (a) (- \cos (a))}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Paso 2.6.4

Multiplica $- \cos (a) (- \cos (a))$ .

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Paso 2.6.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\sin^{2} (a) - \cos (a) + 1 \cos (a) \cos (a)}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Paso 2.6.4.2

Multiplica $\cos (a)$ por $1$ .

$\frac{\sin^{2} (a) - \cos (a) + \cos (a) \cos (a)}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Paso 2.6.4.3

Eleva $\cos (a)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sin^{2} (a) - \cos (a) + \cos^{1} (a) \cos (a)}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Paso 2.6.4.4

Eleva $\cos (a)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sin^{2} (a) - \cos (a) + \cos^{1} (a) \cos^{1} (a)}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Paso 2.6.4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sin^{2} (a) - \cos (a) + {\cos (a)}^{1 + 1}}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Paso 2.6.4.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sin^{2} (a) - \cos (a) + \cos^{2} (a)}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Paso 2.6.5

Reescribe $\sin^{2} (a) - \cos (a) + \cos^{2} (a)$ en forma factorizada.

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Paso 2.6.5.1

Reorganiza los términos.

$\frac{- \cos (a) + \sin^{2} (a) + \cos^{2} (a)}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Paso 2.6.5.2

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{- \cos (a) + 1}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Paso 2.7

Cancela el factor común de $- \cos (a) + 1$ y $1 - \cos (a)$ .

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Paso 2.7.1

Reordena los términos.

$\frac{1 - \cos (a)}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Paso 2.7.2

Cancela el factor común.

$\frac{1 - \cos (a)}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Paso 2.7.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\sin (a)}$

Paso 3

Reescribe $\frac{1}{\sin (a)}$ como $\csc (a)$ .

$\csc (a)$

Paso 4

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\frac{\sin (a)}{1 - \cos (a)} - \cot (a) = \csc (a)$ es una identidad