Precálculo Ejemplos

$\cot^{2} (A) + \csc^{2} (A) = - \cot^{4} (A) + \csc^{4} (A)$

Paso 1

Comienza por el lado derecho.

$- \cot^{4} (A) + \csc^{4} (A)$

Paso 2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1

Reescribe $\csc^{4} (A)$ como ${(\csc^{2} (A))}^{2}$ .

$- \cot^{4} (A) + {(\csc^{2} (A))}^{2}$

Paso 2.2

Reescribe $\cot^{4} (A)$ como ${(\cot^{2} (A))}^{2}$ .

$- {(\cot^{2} (A))}^{2} + {(\csc^{2} (A))}^{2}$

Paso 2.3

Reordena $- {(\cot^{2} (A))}^{2}$ y ${(\csc^{2} (A))}^{2}$ .

${(\csc^{2} (A))}^{2} - {(\cot^{2} (A))}^{2}$

Paso 2.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \csc^{2} (A)$ y $b = \cot^{2} (A)$ .

$(\csc^{2} (A) + \cot^{2} (A)) (\csc^{2} (A) - \cot^{2} (A))$

Paso 2.5

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.1

Reescribe $\csc (A)$ en términos de senos y cosenos.

$({(\frac{1}{\sin (A)})}^{2} + \cot^{2} (A)) (\csc^{2} (A) - \cot^{2} (A))$

Paso 2.5.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\sin (A)}$ .

$(\frac{1^{2}}{\sin^{2} (A)} + \cot^{2} (A)) (\csc^{2} (A) - \cot^{2} (A))$

Paso 2.5.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$(\frac{1}{\sin^{2} (A)} + \cot^{2} (A)) (\csc^{2} (A) - \cot^{2} (A))$

Paso 2.5.4

Reescribe $\cot (A)$ en términos de senos y cosenos.

$(\frac{1}{\sin^{2} (A)} + {(\frac{\cos (A)}{\sin (A)})}^{2}) (\csc^{2} (A) - \cot^{2} (A))$

Paso 2.5.5

Aplica la regla del producto a $\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ .

$(\frac{1}{\sin^{2} (A)} + \frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}) (\csc^{2} (A) - \cot^{2} (A))$

Paso 2.6

Aplica la identidad pitagórica.

$(\frac{1}{\sin^{2} (A)} + \frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}) \cdot 1$

Paso 2.7

Multiplica $\frac{1}{\sin^{2} (A)} + \frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}$ por $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (A)} + \frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}$

Paso 3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 + \cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}$

Paso 4

Ahora considera el lado izquierdo de la ecuación.

$\cot^{2} (A) + \csc^{2} (A)$

Paso 5

Convierte a senos y cosenos.

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Paso 5.1

Escribe $\cot (A)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

${(\frac{\cos (A)}{\sin (A)})}^{2} + \csc^{2} (A)$

Paso 5.2

Aplica la identidad recíproca a $\csc (A)$ .

${(\frac{\cos (A)}{\sin (A)})}^{2} + {(\frac{1}{\sin (A)})}^{2}$

Paso 5.3

Aplica la regla del producto a $\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ .

$\frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)} + {(\frac{1}{\sin (A)})}^{2}$

Paso 5.4

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\sin (A)}$ .

$\frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)} + \frac{1^{2}}{\sin^{2} (A)}$

Paso 6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)} + \frac{1}{\sin^{2} (A)}$

Paso 7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\cos^{2} (A) + 1}{\sin^{2} (A)}$

Paso 8

Reordena los términos.

$\frac{1 + \cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}$

Paso 9

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\cot^{2} (A) + \csc^{2} (A) = - \cot^{4} (A) + \csc^{4} (A)$ es una identidad