Precálculo Ejemplos

$\frac{\sec (t) + \csc (t)}{1 + \cot (t)} = \sec (t)$

Paso 1

Comienza por el lado izquierdo.

$\frac{\sec (t) + \csc (t)}{1 + \cot (t)}$

Paso 2

Convierte a senos y cosenos.

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Paso 2.1

Aplica la identidad recíproca a $\sec (t)$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (t)} + \csc (t)}{1 + \cot (t)}$

Paso 2.2

Aplica la identidad recíproca a $\csc (t)$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (t)} + \frac{1}{\sin (t)}}{1 + \cot (t)}$

Paso 2.3

Escribe $\cot (t)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

$\frac{\frac{1}{\cos (t)} + \frac{1}{\sin (t)}}{1 + \frac{\cos (t)}{\sin (t)}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $\cos (t) \sin (t)$ .

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Paso 3.1.1

Multiplica $\frac{\frac{1}{\cos (t)} + \frac{1}{\sin (t)}}{1 + \frac{\cos (t)}{\sin (t)}}$ por $\frac{\cos (t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)}$ .

$\frac{\cos (t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (t)} + \frac{1}{\sin (t)}}{1 + \frac{\cos (t)}{\sin (t)}}$

Paso 3.1.2

Combinar.

$\frac{\cos (t) \sin (t) (\frac{1}{\cos (t)} + \frac{1}{\sin (t)})}{\cos (t) \sin (t) (1 + \frac{\cos (t)}{\sin (t)})}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\cos (t) \sin (t) \frac{1}{\cos (t)} + \cos (t) \sin (t) \frac{1}{\sin (t)}}{\cos (t) \sin (t) \cdot 1 + \cos (t) \sin (t) \frac{\cos (t)}{\sin (t)}}$

Paso 3.3

Simplifica mediante la cancelación.

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común de $\cos (t)$ .

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Paso 3.3.1.1

Factoriza $\cos (t)$ de $\cos (t) \sin (t)$ .

$\frac{\cos (t) (\sin (t)) \frac{1}{\cos (t)} + \cos (t) \sin (t) \frac{1}{\sin (t)}}{\cos (t) \sin (t) \cdot 1 + \cos (t) \sin (t) \frac{\cos (t)}{\sin (t)}}$

Paso 3.3.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{\cos (t) \sin (t) \frac{1}{\cos (t)} + \cos (t) \sin (t) \frac{1}{\sin (t)}}{\cos (t) \sin (t) \cdot 1 + \cos (t) \sin (t) \frac{\cos (t)}{\sin (t)}}$

Paso 3.3.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sin (t) + \cos (t) \sin (t) \frac{1}{\sin (t)}}{\cos (t) \sin (t) \cdot 1 + \cos (t) \sin (t) \frac{\cos (t)}{\sin (t)}}$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común de $\sin (t)$ .

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sin (t) + \sin (t) \cos (t) \frac{1}{\sin (t)}}{\cos (t) \sin (t) \cdot 1 + \cos (t) \sin (t) \frac{\cos (t)}{\sin (t)}}$

Paso 3.3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) \sin (t) \cdot 1 + \cos (t) \sin (t) \frac{\cos (t)}{\sin (t)}}$

Paso 3.3.3

Cancela el factor común de $\sin (t)$ .

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Paso 3.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) \sin (t) \cdot 1 + \sin (t) \cos (t) \frac{\cos (t)}{\sin (t)}}$

Paso 3.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) \sin (t) \cdot 1 + \cos (t) \cos (t)}$

Paso 3.3.4

Eleva $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) \sin (t) \cdot 1 + {\cos (t)}^{1} \cos (t)}$

Paso 3.3.5

Eleva $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) \sin (t) \cdot 1 + {\cos (t)}^{1} {\cos (t)}^{1}}$

Paso 3.3.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) \sin (t) \cdot 1 + {\cos (t)}^{1 + 1}}$

Paso 3.3.7

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) \sin (t) \cdot 1 + {\cos (t)}^{2}}$

Paso 3.4

Simplifica el denominador.

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Paso 3.4.1

Factoriza $\cos (t)$ de $\cos (t) \sin (t) \cdot 1 + {\cos (t)}^{2}$ .

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Paso 3.4.1.1

Factoriza $\cos (t)$ de $\cos (t) \sin (t) \cdot 1$ .

$\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) (\sin (t) \cdot 1) + {\cos (t)}^{2}}$

Paso 3.4.1.2

Factoriza $\cos (t)$ de ${\cos (t)}^{2}$ .

$\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) (\sin (t) \cdot 1) + \cos (t) \cos (t)}$

Paso 3.4.1.3

Factoriza $\cos (t)$ de $\cos (t) (\sin (t) \cdot 1) + \cos (t) \cos (t)$ .

$\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) (\sin (t) \cdot 1 + \cos (t))}$

Paso 3.4.2

Multiplica $\sin (t)$ por $1$ .

$\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) (\sin (t) + \cos (t))}$

Paso 3.5

Cancela el factor común de $\sin (t) + \cos (t)$ .

$\frac{1}{\cos (t)}$

Paso 4

Reescribe $\frac{1}{\cos (t)}$ como $\sec (t)$ .

$\sec (t)$

Paso 5

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\frac{\sec (t) + \csc (t)}{1 + \cot (t)} = \sec (t)$ es una identidad