Precálculo Ejemplos

$\frac{\sec (x)}{1 + \sec (x)} = \frac{1 - \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Paso 1

Comienza por el lado izquierdo.

$\frac{\sec (x)}{1 + \sec (x)}$

Paso 2

Multiplica $\frac{\sec (x)}{1 + \sec (x)}$ por $\frac{1 - \sec (x)}{1 - \sec (x)}$ .

$\frac{\sec (x)}{1 + \sec (x)} \cdot \frac{1 - \sec (x)}{1 - \sec (x)}$

Paso 3

Combinar.

$\frac{\sec (x) (1 - \sec (x))}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec (x))}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

Paso 4.2

Multiplica $\sec (x)$ por $1$ .

$\frac{\sec (x) + \sec (x) (- \sec (x))}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

Paso 4.3

Multiplica $\sec (x) (- \sec (x))$ .

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

Paso 5

Simplifica el denominador.

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Paso 5.1

Expande $(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{1 (1 - \sec (x)) + \sec (x) (1 - \sec (x))}$

Paso 5.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \sec (x)) + \sec (x) (1 - \sec (x))}$

Paso 5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \sec (x)) + \sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec (x))}$

Paso 5.2

Simplifica y combina los términos similares.

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{1 - \sec^{2} (x)}$

Paso 6

Aplica la identidad pitagórica.

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Paso 6.1

Reordena $1$ y $- \sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{- \sec^{2} (x) + 1}$

Paso 6.2

Factoriza $- 1$ de $- \sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{- (\sec^{2} (x)) + 1}$

Paso 6.3

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1}$

Paso 6.4

Factoriza $- 1$ de $- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ .

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{- (\sec^{2} (x) - 1)}$

Paso 6.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{- \tan^{2} (x)}$

Paso 7

Convierte a senos y cosenos.

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Paso 7.1

Aplica la identidad recíproca a $\sec (x)$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} - \sec^{2} (x)}{- \tan^{2} (x)}$

Paso 7.2

Aplica la identidad recíproca a $\sec (x)$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{- \tan^{2} (x)}$

Paso 7.3

Escribe $\tan (x)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{- {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Paso 7.4

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}{- {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Paso 7.5

Aplica la regla del producto a $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}{- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$(\frac{1}{\cos (x)} - \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Paso 8.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$(\frac{1}{\cos (x)} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Paso 8.3

Para escribir $\frac{1}{\cos (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Paso 8.4

Escribe cada expresión con un denominador común de ${\cos (x)}^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 8.4.1

Multiplica $\frac{1}{\cos (x)}$ por $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$(\frac{\cos (x)}{\cos (x) \cos (x)} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Paso 8.4.2

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$(\frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Paso 8.4.3

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$(\frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Paso 8.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(\frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Paso 8.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$(\frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Paso 8.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\cos (x) - 1}{{\cos (x)}^{2}} (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Paso 8.6

Cancela el factor común de ${\cos (x)}^{2}$ .

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Paso 8.6.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ al numerador.

$\frac{\cos (x) - 1}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Paso 8.6.2

Factoriza ${\cos (x)}^{2}$ de $- {\cos (x)}^{2}$ .

$\frac{\cos (x) - 1}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2} \cdot - 1}{{\sin (x)}^{2}}$

Paso 8.6.3

Cancela el factor común.

$\frac{\cos (x) - 1}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2} \cdot - 1}{{\sin (x)}^{2}}$

Paso 8.6.4

Reescribe la expresión.

$(\cos (x) - 1) \frac{- 1}{{\sin (x)}^{2}}$

Paso 8.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$(\cos (x) - 1) (- \frac{1}{{\sin (x)}^{2}})$

Paso 8.8

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (x) (- \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}) - 1 (- \frac{1}{{\sin (x)}^{2}})$

Paso 8.9

Combina $\cos (x)$ y $\frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - 1 (- \frac{1}{{\sin (x)}^{2}})$

Paso 8.10

Multiplica $- 1 (- \frac{1}{{\sin (x)}^{2}})$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Paso 9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- \cos (x) + 1}{\sin^{2} (x)}$

Paso 10

Reordena los términos.

$\frac{1 - \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Paso 11

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\frac{\sec (x)}{1 + \sec (x)} = \frac{1 - \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ es una identidad