Precálculo Ejemplos

$\frac{\csc (x)}{\sec (x) - \tan (x)} - \frac{\csc (x)}{\sec (x) + \tan (x)} = 2 \sec (x)$

Paso 1

Comienza por el lado izquierdo.

$\frac{\csc (x)}{\sec (x) - \tan (x)} - \frac{\csc (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Paso 2

Resta de fracciones.

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Paso 2.1

Para escribir $\frac{\csc (x)}{\sec (x) - \tan (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\sec (x) + \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$ .

$\frac{\csc (x)}{\sec (x) - \tan (x)} \cdot \frac{\sec (x) + \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{\csc (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Paso 2.2

Para escribir $- \frac{\csc (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\sec (x) - \tan (x)}{\sec (x) - \tan (x)}$ .

$\frac{\csc (x)}{\sec (x) - \tan (x)} \cdot \frac{\sec (x) + \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{\csc (x)}{\sec (x) + \tan (x)} \cdot \frac{\sec (x) - \tan (x)}{\sec (x) - \tan (x)}$

Paso 2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x))$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.3.1

Multiplica $\frac{\csc (x)}{\sec (x) - \tan (x)}$ por $\frac{\sec (x) + \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$ .

$\frac{\csc (x) (\sec (x) + \tan (x))}{(\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x))} - \frac{\csc (x)}{\sec (x) + \tan (x)} \cdot \frac{\sec (x) - \tan (x)}{\sec (x) - \tan (x)}$

Paso 2.3.2

Multiplica $\frac{\csc (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$ por $\frac{\sec (x) - \tan (x)}{\sec (x) - \tan (x)}$ .

$\frac{\csc (x) (\sec (x) + \tan (x))}{(\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x))} - \frac{\csc (x) (\sec (x) - \tan (x))}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}$

Paso 2.3.3

Reordena los factores de $(\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x))$ .

$\frac{\csc (x) (\sec (x) + \tan (x))}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))} - \frac{\csc (x) (\sec (x) - \tan (x))}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\csc (x) (\sec (x) + \tan (x)) - \csc (x) (\sec (x) - \tan (x))}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}$

Paso 3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\csc (x) \sec (x) + \csc (x) \tan (x) - \csc (x) (\sec (x) - \tan (x))}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}$

Paso 3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\csc (x) \sec (x) + \csc (x) \tan (x) - \csc (x) \sec (x) - \csc (x) (- \tan (x))}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}$

Paso 3.1.3

Multiplica $- \csc (x) (- \tan (x))$ .

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Paso 3.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\csc (x) \sec (x) + \csc (x) \tan (x) - \csc (x) \sec (x) + 1 \csc (x) \tan (x)}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}$

Paso 3.1.3.2

Multiplica $\csc (x)$ por $1$ .

$\frac{\csc (x) \sec (x) + \csc (x) \tan (x) - \csc (x) \sec (x) + \csc (x) \tan (x)}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}$

Paso 3.2

Resta $\csc (x) \sec (x)$ de $\csc (x) \sec (x)$ .

$\frac{\csc (x) \tan (x) + 0 + \csc (x) \tan (x)}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}$

Paso 3.3

Suma $\csc (x) \tan (x)$ y $0$ .

$\frac{\csc (x) \tan (x) + \csc (x) \tan (x)}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}$

Paso 3.4

Suma $\csc (x) \tan (x)$ y $\csc (x) \tan (x)$ .

$\frac{2 \csc (x) \tan (x)}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}$

Paso 4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1

Expande $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \csc (x) \tan (x)}{\sec (x) (\sec (x) - \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) - \tan (x))}$

Paso 4.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \csc (x) \tan (x)}{\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) - \tan (x))}$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \csc (x) \tan (x)}{\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))}$

Paso 4.2

Simplifica y combina los términos similares.

$\frac{2 \csc (x) \tan (x)}{\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)}$

Paso 5

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{2 \csc (x) \tan (x)}{1}$

Paso 6

Convierte a senos y cosenos.

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Paso 6.1

Aplica la identidad recíproca a $\csc (x)$ .

$\frac{2 \frac{1}{\sin (x)} \tan (x)}{1}$

Paso 6.2

Escribe $\tan (x)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

$\frac{2 \frac{1}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Divide $2 \frac{1}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ por $1$ .

$2 \frac{1}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Paso 7.2

Combina $2$ y $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{2}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Paso 7.3

Cancela el factor común de $\sin (x)$ .

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Paso 7.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Paso 7.3.2

Reescribe la expresión.

$2 \frac{1}{\cos (x)}$

Paso 7.4

Combina $2$ y $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{2}{\cos (x)}$

Paso 8

Reescribe $\frac{2}{\cos (x)}$ como $2 \sec (x)$ .

$2 \sec (x)$

Paso 9

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\frac{\csc (x)}{\sec (x) - \tan (x)} - \frac{\csc (x)}{\sec (x) + \tan (x)} = 2 \sec (x)$ es una identidad