Precálculo Ejemplos

$2 \csc (x) = \frac{1}{\csc (x) + \cot (x)} + \frac{1}{\csc (x) - \cot (x)}$

Paso 1

Comienza por el lado derecho.

$\frac{1}{\csc (x) + \cot (x)} + \frac{1}{\csc (x) - \cot (x)}$

Paso 2

Suma fracciones.

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Paso 2.1

Para escribir $\frac{1}{\csc (x) + \cot (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\csc (x) - \cot (x)}{\csc (x) - \cot (x)}$ .

$\frac{1}{\csc (x) + \cot (x)} \cdot \frac{\csc (x) - \cot (x)}{\csc (x) - \cot (x)} + \frac{1}{\csc (x) - \cot (x)}$

Paso 2.2

Para escribir $\frac{1}{\csc (x) - \cot (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\csc (x) + \cot (x)}{\csc (x) + \cot (x)}$ .

$\frac{1}{\csc (x) + \cot (x)} \cdot \frac{\csc (x) - \cot (x)}{\csc (x) - \cot (x)} + \frac{1}{\csc (x) - \cot (x)} \cdot \frac{\csc (x) + \cot (x)}{\csc (x) + \cot (x)}$

Paso 2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.3.1

Multiplica $\frac{1}{\csc (x) + \cot (x)}$ por $\frac{\csc (x) - \cot (x)}{\csc (x) - \cot (x)}$ .

$\frac{\csc (x) - \cot (x)}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))} + \frac{1}{\csc (x) - \cot (x)} \cdot \frac{\csc (x) + \cot (x)}{\csc (x) + \cot (x)}$

Paso 2.3.2

Multiplica $\frac{1}{\csc (x) - \cot (x)}$ por $\frac{\csc (x) + \cot (x)}{\csc (x) + \cot (x)}$ .

$\frac{\csc (x) - \cot (x)}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))} + \frac{\csc (x) + \cot (x)}{(\csc (x) - \cot (x)) (\csc (x) + \cot (x))}$

Paso 2.3.3

Reordena los factores de $(\csc (x) - \cot (x)) (\csc (x) + \cot (x))$ .

$\frac{\csc (x) - \cot (x)}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))} + \frac{\csc (x) + \cot (x)}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\csc (x) - \cot (x) + \csc (x) + \cot (x)}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

Paso 3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1

Suma $\csc (x)$ y $\csc (x)$ .

$\frac{2 \csc (x) - \cot (x) + \cot (x)}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

Paso 3.2

Suma $- \cot (x)$ y $\cot (x)$ .

$\frac{2 \csc (x) + 0}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

Paso 3.3

Suma $2 \csc (x)$ y $0$ .

$\frac{2 \csc (x)}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

Paso 4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1

Expande $(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \csc (x)}{\csc (x) (\csc (x) - \cot (x)) + \cot (x) (\csc (x) - \cot (x))}$

Paso 4.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \csc (x)}{\csc (x) \csc (x) + \csc (x) (- \cot (x)) + \cot (x) (\csc (x) - \cot (x))}$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \csc (x)}{\csc (x) \csc (x) + \csc (x) (- \cot (x)) + \cot (x) \csc (x) + \cot (x) (- \cot (x))}$

Paso 4.2

Simplifica y combina los términos similares.

$\frac{2 \csc (x)}{\csc^{2} (x) - \cot^{2} (x)}$

Paso 5

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{2 \csc (x)}{1}$

Paso 6

Aplica la identidad recíproca a $\csc (x)$ .

$\frac{2 \frac{1}{\sin (x)}}{1}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Divide $2 \frac{1}{\sin (x)}$ por $1$ .

$2 \frac{1}{\sin (x)}$

Paso 7.2

Combina $2$ y $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{2}{\sin (x)}$

Paso 8

Reescribe $\frac{2}{\sin (x)}$ como $2 \csc (x)$ .

$2 \csc (x)$

Paso 9

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$2 \csc (x) = \frac{1}{\csc (x) + \cot (x)} + \frac{1}{\csc (x) - \cot (x)}$ es una identidad