Precálculo Ejemplos

$\sec (\frac{π}{3} - \frac{π}{4})$

Paso 1

Para escribir $\frac{π}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\sec (\frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4})$

Paso 2

Para escribir $- \frac{π}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\sec (\frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Paso 3

Escribe cada expresión con un denominador común de $12$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{π}{3}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\sec (\frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Paso 3.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$\sec (\frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Paso 3.3

Multiplica $\frac{π}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\sec (\frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3})$

Paso 3.4

Multiplica $4$ por $3$ .

$\sec (\frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π \cdot 3}{12})$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sec (\frac{π \cdot 4 - π \cdot 3}{12})$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$\sec (\frac{4 \cdot π - π \cdot 3}{12})$

Paso 5.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\sec (\frac{4 π - 3 π}{12})$

Paso 5.3

Resta $3 π$ de $4 π$ .

$\sec (\frac{π}{12})$

Paso 6

El valor exacto de $\sec (\frac{π}{12})$ es $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ .

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Paso 6.1

Divide $\frac{π}{12}$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$\sec (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Paso 6.2

Aplica la diferencia de la razón de los ángulos.

$\frac{\sec (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{6}) \csc (\frac{π}{4}) \csc (\frac{π}{6})}{\csc (\frac{π}{4}) \csc (\frac{π}{6}) + \sec (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{6})}$

Paso 6.3

El valor exacto de $\sec (\frac{π}{4})$ es $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \sec (\frac{π}{6}) \csc (\frac{π}{4}) \csc (\frac{π}{6})}{\csc (\frac{π}{4}) \csc (\frac{π}{6}) + \sec (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{6})}$

Paso 6.4

El valor exacto de $\sec (\frac{π}{6})$ es $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \csc (\frac{π}{4}) \csc (\frac{π}{6})}{\csc (\frac{π}{4}) \csc (\frac{π}{6}) + \sec (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{6})}$

Paso 6.5

El valor exacto de $\csc (\frac{π}{4})$ es $\sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} \csc (\frac{π}{6})}{\csc (\frac{π}{4}) \csc (\frac{π}{6}) + \sec (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{6})}$

Paso 6.6

El valor exacto de $\csc (\frac{π}{6})$ es $2$ .

$\frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} \cdot 2}{\csc (\frac{π}{4}) \csc (\frac{π}{6}) + \sec (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{6})}$

Paso 6.7

El valor exacto de $\csc (\frac{π}{4})$ es $\sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \csc (\frac{π}{6}) + \sec (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{6})}$

Paso 6.8

El valor exacto de $\csc (\frac{π}{6})$ es $2$ .

$\frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 2 + \sec (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{6})}$

Paso 6.9

El valor exacto de $\sec (\frac{π}{4})$ es $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 2 + \frac{2}{\sqrt{2}} \sec (\frac{π}{6})}$

Paso 6.10

El valor exacto de $\sec (\frac{π}{6})$ es $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 2 + \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Paso 6.11

Simplifica $\frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 2 + \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$ .

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Paso 6.11.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.11.1.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}} \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 2 + \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Paso 6.11.1.2

Combina $\frac{2 \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}$ y $\sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{3}} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 2 + \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Paso 6.11.1.3

Combina $\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{3}}$ y $2$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\sqrt{2} \cdot 2 + \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Paso 6.11.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.11.2.1

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \cdot \sqrt{2} + \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Paso 6.11.2.2

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Paso 6.11.2.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 6.11.2.3.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Paso 6.11.2.3.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Paso 6.11.2.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Paso 6.11.2.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Paso 6.11.2.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Paso 6.11.2.3.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 6.11.2.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Paso 6.11.2.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Paso 6.11.2.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Paso 6.11.2.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.11.2.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Paso 6.11.2.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Paso 6.11.2.3.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Paso 6.11.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.11.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Paso 6.11.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} \frac{1}{\sqrt{3}}}$

Paso 6.11.2.5

Combina $\frac{1}{\sqrt{3}}$ y $2$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2}}$

Paso 6.11.2.6

Combina $\frac{2}{\sqrt{3}}$ y $\sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$

Paso 6.11.2.7

Multiplica $\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}$

Paso 6.11.2.8

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 6.11.2.8.1

Multiplica $\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}}$

Paso 6.11.2.8.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}}$

Paso 6.11.2.8.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}}$

Paso 6.11.2.8.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}}$

Paso 6.11.2.8.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}}$

Paso 6.11.2.8.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 6.11.2.8.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$

Paso 6.11.2.8.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

Paso 6.11.2.8.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}$

Paso 6.11.2.8.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.11.2.8.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}$

Paso 6.11.2.8.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}}$

Paso 6.11.2.8.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3}}$

Paso 6.11.2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 6.11.2.9.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{3 \cdot 2}}{3}}$

Paso 6.11.2.9.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{6}}{3}}$

Paso 6.11.2.10

Para escribir $2 \sqrt{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 \sqrt{6}}{3}}$

Paso 6.11.2.11

Combina $2 \sqrt{2}$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{2} \cdot 3}{3} + \frac{2 \sqrt{6}}{3}}$

Paso 6.11.2.12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{2} \cdot 3 + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Paso 6.11.2.13

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Paso 6.11.3

Simplifica el numerador.

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Paso 6.11.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Paso 6.11.3.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{\frac{8 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Paso 6.11.4

Simplifica el denominador.

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Paso 6.11.4.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\frac{8 \sqrt{2}}{\sqrt{2 \cdot 3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Paso 6.11.4.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{\frac{8 \sqrt{2}}{\sqrt{6}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Paso 6.11.5

Simplifica el numerador.

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Paso 6.11.5.1

Combina $\sqrt{2}$ y $\sqrt{6}$ en un solo radical.

$\frac{8 \sqrt{\frac{2}{6}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Paso 6.11.5.2

Cancela el factor común de $2$ y $6$ .

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Paso 6.11.5.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{8 \sqrt{\frac{2 (1)}{6}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Paso 6.11.5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.11.5.2.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{8 \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Paso 6.11.5.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{8 \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Paso 6.11.5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{8 \sqrt{\frac{1}{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Paso 6.11.5.3

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{3}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{8 \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Paso 6.11.5.4

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{8 \frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Paso 6.11.5.5

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{8 (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Paso 6.11.5.6

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 6.11.5.6.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Paso 6.11.5.6.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Paso 6.11.5.6.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Paso 6.11.5.6.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Paso 6.11.5.6.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Paso 6.11.5.6.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 6.11.5.6.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Paso 6.11.5.6.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Paso 6.11.5.6.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Paso 6.11.5.6.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.11.5.6.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Paso 6.11.5.6.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Paso 6.11.5.6.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Paso 6.11.5.7

Combina $8$ y $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{8 \sqrt{3}}{3}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Paso 6.11.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{8 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}$

Paso 6.11.7

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.11.7.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}$

Paso 6.11.7.2

Reescribe la expresión.

$8 \sqrt{3} \frac{1}{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}$

Paso 6.11.8

Combina $\frac{1}{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}$ y $8$ .

$\frac{8}{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}} \sqrt{3}$

Paso 6.11.9

Combina $\frac{8}{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}$ y $\sqrt{3}$ .

$\frac{8 \sqrt{3}}{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}$

Paso 6.11.10

Cancela el factor común de $8$ y $6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}$ .

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Paso 6.11.10.1

Factoriza $2$ de $8 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (4 \sqrt{3})}{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}$

Paso 6.11.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.11.10.2.1

Factoriza $2$ de $6 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 (3 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{6}}$

Paso 6.11.10.2.2

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{6}$ .

$\frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 (3 \sqrt{2}) + 2 (\sqrt{6})}$

Paso 6.11.10.2.3

Factoriza $2$ de $2 (3 \sqrt{2}) + 2 (\sqrt{6})$ .

$\frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 (3 \sqrt{2} + \sqrt{6})}$

Paso 6.11.10.2.4

Cancela el factor común.

$\frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 (3 \sqrt{2} + \sqrt{6})}$

Paso 6.11.10.2.5

Reescribe la expresión.

$\frac{4 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}$

Paso 6.11.11

Multiplica $\frac{4 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}$ por $\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}} \cdot \frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}$

Paso 6.11.12

Multiplica $\frac{4 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}$ por $\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}$ .

$\frac{4 \sqrt{3} (3 \sqrt{2} - \sqrt{6})}{(3 \sqrt{2} + \sqrt{6}) (3 \sqrt{2} - \sqrt{6})}$

Paso 6.11.13

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{4 \sqrt{3} (3 \sqrt{2} - \sqrt{6})}{9 {\sqrt{2}}^{2} - 3 \sqrt{12} + 3 \sqrt{12} - {\sqrt{6}}^{2}}$

Paso 6.11.14

Simplifica.

$\frac{4 \sqrt{3} (3 \sqrt{2} - \sqrt{6})}{12}$

Paso 6.11.15

Cancela el factor común de $4$ y $12$ .

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Paso 6.11.15.1

Factoriza $4$ de $4 \sqrt{3} (3 \sqrt{2} - \sqrt{6})$ .

$\frac{4 (\sqrt{3} (3 \sqrt{2} - \sqrt{6}))}{12}$

Paso 6.11.15.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.11.15.2.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{4 (\sqrt{3} (3 \sqrt{2} - \sqrt{6}))}{4 \cdot 3}$

Paso 6.11.15.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 (\sqrt{3} (3 \sqrt{2} - \sqrt{6}))}{4 \cdot 3}$

Paso 6.11.15.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{3} (3 \sqrt{2} - \sqrt{6})}{3}$

Paso 6.11.16

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{3} (3 \sqrt{2}) + \sqrt{3} (- \sqrt{6})}{3}$

Paso 6.11.17

Multiplica $\sqrt{3} (3 \sqrt{2})$ .

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Paso 6.11.17.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{3 \sqrt{3 \cdot 2} + \sqrt{3} (- \sqrt{6})}{3}$

Paso 6.11.17.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{3 \sqrt{6} + \sqrt{3} (- \sqrt{6})}{3}$

Paso 6.11.18

Multiplica $\sqrt{3} (- \sqrt{6})$ .

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Paso 6.11.18.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{3 \sqrt{6} - \sqrt{3 \cdot 6}}{3}$

Paso 6.11.18.2

Multiplica $3$ por $6$ .

$\frac{3 \sqrt{6} - \sqrt{18}}{3}$

Paso 6.11.19

Simplifica cada término.

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Paso 6.11.19.1

Reescribe $18$ como $3^{2} \cdot 2$ .

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Paso 6.11.19.1.1

Factoriza $9$ de $18$ .

$\frac{3 \sqrt{6} - \sqrt{9 (2)}}{3}$

Paso 6.11.19.1.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{6} - \sqrt{3^{2} \cdot 2}}{3}$

Paso 6.11.19.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{3 \sqrt{6} - (3 \sqrt{2})}{3}$

Paso 6.11.19.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{3 \sqrt{6} - 3 \sqrt{2}}{3}$

Paso 6.11.20

Cancela el factor común de $3 \sqrt{6} - 3 \sqrt{2}$ y $3$ .

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Paso 6.11.20.1

Factoriza $3$ de $3 \sqrt{6}$ .

$\frac{3 (\sqrt{6}) - 3 \sqrt{2}}{3}$

Paso 6.11.20.2

Factoriza $3$ de $- 3 \sqrt{2}$ .

$\frac{3 (\sqrt{6}) + 3 (- \sqrt{2})}{3}$

Paso 6.11.20.3

Factoriza $3$ de $3 (\sqrt{6}) + 3 (- \sqrt{2})$ .

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{3}$

Paso 6.11.20.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.11.20.4.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{3 (1)}$

Paso 6.11.20.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{3 \cdot 1}$

Paso 6.11.20.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{1}$

Paso 6.11.20.4.4

Divide $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ por $1$ .

$\sqrt{6} - \sqrt{2}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\sqrt{6} - \sqrt{2}$

Forma decimal:

$1.03527618 \dots$