Precálculo Ejemplos

$\sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{12})$

Paso 1

El valor exacto de $\sin (\frac{7 π}{12})$ es $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ .

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Paso 1.1

Reescribe $\frac{7 π}{12}$ como un ángulo donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas dividido por $2$ .

$\sin (\frac{\frac{7 π}{6}}{2}) \sin (\frac{π}{12})$

Paso 1.2

Aplica la razón del ángulo mitad del seno.

$(\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}) \sin (\frac{π}{12})$

Paso 1.3

Cambia $\pm$ por $+$ porque el seno es positivo en el segundo cuadrante.

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}} \sin (\frac{π}{12})$

Paso 1.4

Simplifica $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ .

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Paso 1.4.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el tercer cuadrante.

$\sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{6})}{2}} \sin (\frac{π}{12})$

Paso 1.4.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{12})$

Paso 1.4.3

Multiplica $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Paso 1.4.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{12})$

Paso 1.4.3.2

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $1$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{12})$

Paso 1.4.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{12})$

Paso 1.4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{12})$

Paso 1.4.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}} \sin (\frac{π}{12})$

Paso 1.4.7

Multiplica $\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 1.4.7.1

Multiplica $\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2 \cdot 2}} \sin (\frac{π}{12})$

Paso 1.4.7.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}} \sin (\frac{π}{12})$

Paso 1.4.8

Reescribe $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}} \sin (\frac{π}{12})$

Paso 1.4.9

Simplifica el denominador.

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Paso 1.4.9.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}} \sin (\frac{π}{12})$

Paso 1.4.9.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \sin (\frac{π}{12})$

Paso 2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{12})$ es $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Paso 2.1

Divide $\frac{π}{12}$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Paso 2.2

Aplica la diferencia de la razón de los ángulos.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Paso 2.3

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Paso 2.4

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Paso 2.5

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6}))$

Paso 2.6

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 2.7

Simplifica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 2.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.7.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Paso 2.7.1.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 2.7.1.1.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 2.7.1.1.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 2.7.1.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 2.7.1.2

Multiplica $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 2.7.1.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Paso 2.7.1.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

Paso 2.7.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Paso 3

Multiplica $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ por $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2 \cdot 4}$

Paso 3.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{8}$

Paso 4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}} \sqrt{6} + \sqrt{2 + \sqrt{3}} (- \sqrt{2})}{8}$

Paso 5

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 6} + \sqrt{2 + \sqrt{3}} (- \sqrt{2})}{8}$

Paso 6

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 6} - \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{8}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 6} - \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{8}$

Forma decimal:

$0.25$