Precálculo Ejemplos

$\sin (\frac{5 π}{6} + \frac{π}{4})$

Paso 1

Para escribir $\frac{5 π}{6}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\sin (\frac{5 π}{6} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4})$

Paso 2

Para escribir $\frac{π}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\sin (\frac{5 π}{6} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Paso 3

Escribe cada expresión con un denominador común de $12$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{5 π}{6}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\sin (\frac{5 π \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Paso 3.2

Multiplica $6$ por $2$ .

$\sin (\frac{5 π \cdot 2}{12} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Paso 3.3

Multiplica $\frac{π}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\sin (\frac{5 π \cdot 2}{12} + \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3})$

Paso 3.4

Multiplica $4$ por $3$ .

$\sin (\frac{5 π \cdot 2}{12} + \frac{π \cdot 3}{12})$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sin (\frac{5 π \cdot 2 + π \cdot 3}{12})$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Multiplica $2$ por $5$ .

$\sin (\frac{10 π + π \cdot 3}{12})$

Paso 5.2

Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$\sin (\frac{10 π + 3 \cdot π}{12})$

Paso 5.3

Suma $10 π$ y $3 π$ .

$\sin (\frac{13 π}{12})$

Paso 6

El valor exacto de $\sin (\frac{13 π}{12})$ es $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Paso 6.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el tercer cuadrante.

$- \sin (\frac{π}{12})$

Paso 6.2

Divide $\frac{π}{12}$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$- \sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Paso 6.3

Aplica la diferencia de la razón de los ángulos.

$- (\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Paso 6.4

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Paso 6.5

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Paso 6.6

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6}))$

Paso 6.7

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 6.8

Simplifica $- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$ .

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Paso 6.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.8.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Paso 6.8.1.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 6.8.1.1.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$- (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 6.8.1.1.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 6.8.1.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 6.8.1.2

Multiplica $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 6.8.1.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Paso 6.8.1.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

Paso 6.8.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Forma decimal:

$- 0.25881904 \dots$