Precálculo Ejemplos

$\cos^{2} (\frac{π}{12})$

Paso 1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{12})$ es $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Paso 1.1

Divide $\frac{π}{12}$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$\cos^{2} (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Paso 1.2

Aplica la diferencia de la razón de los ángulos $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

${(\cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))}^{2}$

Paso 1.3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))}^{2}$

Paso 1.4

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))}^{2}$

Paso 1.5

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6}))}^{2}$

Paso 1.6

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2}$

Paso 1.7

Simplifica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 1.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.7.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Paso 1.7.1.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2}$

Paso 1.7.1.1.2

Combina con la regla del producto para radicales.

${(\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2}$

Paso 1.7.1.1.3

Multiplica $2$ por $3$ .

${(\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2}$

Paso 1.7.1.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

${(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2}$

Paso 1.7.1.2

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 1.7.1.2.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})}^{2}$

Paso 1.7.1.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

${(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4})}^{2}$

Paso 1.7.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})}^{2}$

Paso 2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{{(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}}{4^{2}}$

Paso 2.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{{(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}}{16}$

Paso 2.3

Reescribe ${(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}$ como $(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ .

$\frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16}$

Paso 3

Expande $(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2}) + \sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16}$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Paso 4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Paso 4.1.2

Multiplica $6$ por $6$ .

$\frac{\sqrt{36} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Paso 4.1.3

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Paso 4.1.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{6 + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Paso 4.1.5

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{6 + \sqrt{6 \cdot 2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Paso 4.1.6

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{6 + \sqrt{12} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Paso 4.1.7

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 4.1.7.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{6 + \sqrt{4 (3)} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Paso 4.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{6 + \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Paso 4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Paso 4.1.9

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Paso 4.1.10

Multiplica $2$ por $6$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{12} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Paso 4.1.11

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 4.1.11.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{4 (3)} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Paso 4.1.11.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Paso 4.1.12

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Paso 4.1.13

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2 \cdot 2}}{16}$

Paso 4.1.14

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{4}}{16}$

Paso 4.1.15

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2}}}{16}$

Paso 4.1.16

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 2}{16}$

Paso 4.2

Suma $6$ y $2$ .

$\frac{8 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}{16}$

Paso 4.3

Suma $2 \sqrt{3}$ y $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{8 + 4 \sqrt{3}}{16}$

Paso 5

Cancela el factor común de $8 + 4 \sqrt{3}$ y $16$ .

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Paso 5.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{4 \cdot 2 + 4 \sqrt{3}}{16}$

Paso 5.2

Factoriza $4$ de $4 \sqrt{3}$ .

$\frac{4 \cdot 2 + 4 (\sqrt{3})}{16}$

Paso 5.3

Factoriza $4$ de $4 \cdot 2 + 4 (\sqrt{3})$ .

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{16}$

Paso 5.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4 (4)}$

Paso 5.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4 \cdot 4}$

Paso 5.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4}$

Forma decimal:

$0.93301270 \dots$