Precálculo Ejemplos

$\tan^{2} (75)$

Paso 1

El valor exacto de $\tan (75)$ es $2 + \sqrt{3}$ .

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Paso 1.1

Divide $75$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$\tan^{2} (30 + 45)$

Paso 1.2

Aplica la suma de la razón de los ángulos.

${(\frac{\tan (30) + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)})}^{2}$

Paso 1.3

El valor exacto de $\tan (30)$ es $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

${(\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)})}^{2}$

Paso 1.4

El valor exacto de $\tan (45)$ es $1$ .

${(\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \tan (30) \tan (45)})}^{2}$

Paso 1.5

El valor exacto de $\tan (30)$ es $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

${(\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \tan (45)})}^{2}$

Paso 1.6

El valor exacto de $\tan (45)$ es $1$ .

${(\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1})}^{2}$

Paso 1.7

Simplifica $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ .

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Paso 1.7.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

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Paso 1.7.1.1

Multiplica $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ por $\frac{3}{3}$ .

${(\frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1})}^{2}$

Paso 1.7.1.2

Combinar.

${(\frac{3 (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1)}{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)})}^{2}$

Paso 1.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

${(\frac{3 \frac{\sqrt{3}}{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)})}^{2}$

Paso 1.7.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.7.3.1

Cancela el factor común.

${(\frac{3 \frac{\sqrt{3}}{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)})}^{2}$

Paso 1.7.3.2

Reescribe la expresión.

${(\frac{\sqrt{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)})}^{2}$

Paso 1.7.4

Multiplica $3$ por $1$ .

${(\frac{\sqrt{3} + 3}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)})}^{2}$

Paso 1.7.5

Simplifica el denominador.

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Paso 1.7.5.1

Multiplica $3$ por $1$ .

${(\frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)})}^{2}$

Paso 1.7.5.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

${(\frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})})}^{2}$

Paso 1.7.5.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.7.5.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ al numerador.

${(\frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}})}^{2}$

Paso 1.7.5.3.2

Cancela el factor común.

${(\frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}})}^{2}$

Paso 1.7.5.3.3

Reescribe la expresión.

${(\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}})}^{2}$

Paso 1.7.6

Multiplica $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ por $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

${(\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}})}^{2}$

Paso 1.7.7

Multiplica $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ por $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

${(\frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})})}^{2}$

Paso 1.7.8

Expande el denominador con el método PEIU.

${(\frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}})}^{2}$

Paso 1.7.9

Simplifica.

${(\frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Paso 1.7.10

Simplifica el numerador.

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Paso 1.7.10.1

Reordena los términos.

${(\frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Paso 1.7.10.2

Eleva $3 + \sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

${(\frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1} (3 + \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Paso 1.7.10.3

Eleva $3 + \sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

${(\frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1} {(3 + \sqrt{3})}^{1}}{6})}^{2}$

Paso 1.7.10.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${(\frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6})}^{2}$

Paso 1.7.10.5

Suma $1$ y $1$ .

${(\frac{{(3 + \sqrt{3})}^{2}}{6})}^{2}$

Paso 1.7.11

Reescribe ${(3 + \sqrt{3})}^{2}$ como $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ .

${(\frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Paso 1.7.12

Expande $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.7.12.1

Aplica la propiedad distributiva.

${(\frac{3 (3 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Paso 1.7.12.2

Aplica la propiedad distributiva.

${(\frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Paso 1.7.12.3

Aplica la propiedad distributiva.

${(\frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6})}^{2}$

Paso 1.7.13

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.7.13.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.7.13.1.1

Multiplica $3$ por $3$ .

${(\frac{9 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6})}^{2}$

Paso 1.7.13.1.2

Mueve $3$ a la izquierda de $\sqrt{3}$ .

${(\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6})}^{2}$

Paso 1.7.13.1.3

Combina con la regla del producto para radicales.

${(\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{6})}^{2}$

Paso 1.7.13.1.4

Multiplica $3$ por $3$ .

${(\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{6})}^{2}$

Paso 1.7.13.1.5

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

${(\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{6})}^{2}$

Paso 1.7.13.1.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

${(\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3}{6})}^{2}$

Paso 1.7.13.2

Suma $9$ y $3$ .

${(\frac{12 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{6})}^{2}$

Paso 1.7.13.3

Suma $3 \sqrt{3}$ y $3 \sqrt{3}$ .

${(\frac{12 + 6 \sqrt{3}}{6})}^{2}$

Paso 1.7.14

Cancela el factor común de $12 + 6 \sqrt{3}$ y $6$ .

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Paso 1.7.14.1

Factoriza $6$ de $12$ .

${(\frac{6 \cdot 2 + 6 \sqrt{3}}{6})}^{2}$

Paso 1.7.14.2

Factoriza $6$ de $6 \sqrt{3}$ .

${(\frac{6 \cdot 2 + 6 (\sqrt{3})}{6})}^{2}$

Paso 1.7.14.3

Factoriza $6$ de $6 (2) + 6 (\sqrt{3})$ .

${(\frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Paso 1.7.14.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.7.14.4.1

Factoriza $6$ de $6$ .

${(\frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 (1)})}^{2}$

Paso 1.7.14.4.2

Cancela el factor común.

${(\frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 \cdot 1})}^{2}$

Paso 1.7.14.4.3

Reescribe la expresión.

${(\frac{2 + \sqrt{3}}{1})}^{2}$

Paso 1.7.14.4.4

Divide $2 + \sqrt{3}$ por $1$ .

${(2 + \sqrt{3})}^{2}$

Paso 2

Reescribe ${(2 + \sqrt{3})}^{2}$ como $(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})$ .

$(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})$

Paso 3

Expande $(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}$

Paso 4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}$

Paso 4.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt{3}$ .

$4 + 2 \sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}$

Paso 4.1.3

Combina con la regla del producto para radicales.

$4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}$

Paso 4.1.4

Multiplica $3$ por $3$ .

$4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{9}$

Paso 4.1.5

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}$

Paso 4.1.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3$

Paso 4.2

Suma $4$ y $3$ .

$7 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}$

Paso 4.3

Suma $2 \sqrt{3}$ y $2 \sqrt{3}$ .

$7 + 4 \sqrt{3}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$7 + 4 \sqrt{3}$

Forma decimal:

$13.92820323 \dots$