Precálculo Ejemplos

f (x) = 4 x^{2} + 20 x - 24

$f (x) = 4 x^{2} + 20 x - 24$

Paso 1

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 1.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1.1

Completa el cuadrado de

4 x^{2} + 20 x - 24

$4 x^{2} + 20 x - 24$ .

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Paso 1.1.1.1

Usa la forma

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de

a

$a$ ,

b

$b$ y

c

$c$ .

a = 4

$a = 4$

b = 20

$b = 20$

c = - 24

$c = - 24$

Paso 1.1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.1.1.3

Obtén el valor de

d

$d$ con la fórmula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Sustituye los valores de

a

$a$ y

b

$b$ en la fórmula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{20}{2 \cdot 4}

$d = \frac{20}{2 \cdot 4}$

Paso 1.1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.1.3.2.1

Cancela el factor común de

20

$20$ y

2

$2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.3.2.1.1

Factoriza

2

$2$ de

20

$20$ .

d = \frac{2 \cdot 10}{2 \cdot 4}

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 \cdot 4}$

Paso 1.1.1.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.1.3.2.1.2.1

Factoriza

2

$2$ de

2 \cdot 4

$2 \cdot 4$ .

d = \frac{2 \cdot 10}{2 (4)}

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 (4)}$

Paso 1.1.1.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 \cdot 4}$

Paso 1.1.1.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{10}{4}$

Paso 1.1.1.3.2.2

Cancela el factor común de

$10$ y

$4$ .

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Paso 1.1.1.3.2.2.1

Factoriza

$2$ de

$10$ .

$d = \frac{2 (5)}{4}$

Paso 1.1.1.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.3.2.2.2.1

Factoriza

$2$ de

$4$ .

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Paso 1.1.1.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Paso 1.1.1.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{5}{2}$

Paso 1.1.1.4

Obtén el valor de

$e$ con la fórmula

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.1.1.4.1

Sustituye los valores de

$c$ ,

$b$ y

$a$ en la fórmula

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 24 - \frac{20^{2}}{4 \cdot 4}$

Paso 1.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.4.2.1.1

Eleva

$20$ a la potencia de

$2$ .

$e = - 24 - \frac{400}{4 \cdot 4}$

Paso 1.1.1.4.2.1.2

Multiplica

$4$ por

$4$ .

$e = - 24 - \frac{400}{16}$

Paso 1.1.1.4.2.1.3

Divide

$400$ por

$16$ .

$e = - 24 - 1 \cdot 25$

Paso 1.1.1.4.2.1.4

Multiplica

$- 1$ por

$25$ .

$e = - 24 - 25$

Paso 1.1.1.4.2.2

Resta

$25$ de

$- 24$ .

$e = - 49$

Paso 1.1.1.5

Sustituye los valores de

$a$ ,

$d$ y

$e$ en la forma de vértice

$4 {(x + \frac{5}{2})}^{2} - 49$ .

$4 {(x + \frac{5}{2})}^{2} - 49$

Paso 1.1.2

Establece

$y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = 4 {(x + \frac{5}{2})}^{2} - 49$

Paso 1.2

Usa la forma de vértice,

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de

$a$ ,

$h$ y

$k$ .

$a = 4$

$h = - \frac{5}{2}$

$k = - 49$

Paso 1.3

Como el valor de

$a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Abre hacia arriba

Paso 1.4

Obtén el vértice

$(h, k)$ .

$(- \frac{5}{2}, - 49)$

Paso 1.5

Obtén

$p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 1.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 1.5.2

Sustituye el valor de

$a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 4}$

Paso 1.5.3

Multiplica

$4$ por

$4$ .

$\frac{1}{16}$

Paso 1.6

Obtén el foco.

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Paso 1.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar

$p$ a la coordenada y

$k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 1.6.2

Sustituye los valores conocidos de

$h$ ,

$p$ y

$k$ en la fórmula y simplifica.

$(- \frac{5}{2}, - \frac{783}{16})$

Paso 1.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = - \frac{5}{2}$

Paso 1.8

Obtén la directriz.

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Paso 1.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar

$p$ de la coordenada y

$k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 1.8.2

Sustituye los valores conocidos de

$p$ y

$k$ en la fórmula y simplifica.

$y = - \frac{785}{16}$

Paso 1.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice:

$(- \frac{5}{2}, - 49)$

Foco:

$(- \frac{5}{2}, - \frac{783}{16})$

Eje de simetría:

$x = - \frac{5}{2}$

Directriz:

$y = - \frac{785}{16}$

Dirección: abre hacia arriba

Vértice:

$(- \frac{5}{2}, - 49)$

Foco:

$(- \frac{5}{2}, - \frac{783}{16})$

Eje de simetría:

$x = - \frac{5}{2}$

Directriz:

$y = - \frac{785}{16}$

Paso 2

Selecciona algunos valores

$x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores

$y$ correspondientes. Los valores

$x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 2.1

Reemplaza la variable

$x$ con

$- 3$ en la expresión.

$f (- 3) = 4 {(- 3)}^{2} + 20 (- 3) - 24$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Eleva

$- 3$ a la potencia de

$2$ .

$f (- 3) = 4 \cdot 9 + 20 (- 3) - 24$

Paso 2.2.1.2

Multiplica

$4$ por

$9$ .

$f (- 3) = 36 + 20 (- 3) - 24$

Paso 2.2.1.3

Multiplica

$20$ por

$- 3$ .

$f (- 3) = 36 - 60 - 24$

Paso 2.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 2.2.2.1

Resta

$60$ de

$36$ .

$f (- 3) = - 24 - 24$

Paso 2.2.2.2

Resta

$24$ de

$- 24$ .

$f (- 3) = - 48$

Paso 2.2.3

La respuesta final es

$- 48$ .

$- 48$

Paso 2.3

El valor de

$y$ en

$x = - 3$ es

$- 48$ .

$y = - 48$

Paso 2.4

Reemplaza la variable

$x$ con

$- 4$ en la expresión.

$f (- 4) = 4 {(- 4)}^{2} + 20 (- 4) - 24$

Paso 2.5

Simplifica el resultado.

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Paso 2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.1.1

Eleva

$- 4$ a la potencia de

$2$ .

$f (- 4) = 4 \cdot 16 + 20 (- 4) - 24$

Paso 2.5.1.2

Multiplica

$4$ por

$16$ .

$f (- 4) = 64 + 20 (- 4) - 24$

Paso 2.5.1.3

Multiplica

$20$ por

$- 4$ .

$f (- 4) = 64 - 80 - 24$

Paso 2.5.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 2.5.2.1

Resta

$80$ de

$64$ .

$f (- 4) = - 16 - 24$

Paso 2.5.2.2

Resta

$24$ de

$- 16$ .

$f (- 4) = - 40$

Paso 2.5.3

La respuesta final es

$- 40$ .

$- 40$

Paso 2.6

El valor de

$y$ en

$x = - 4$ es

$- 40$ .

$y = - 40$

Paso 2.7

Reemplaza la variable

$x$ con

$- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = 4 {(- 1)}^{2} + 20 (- 1) - 24$

Paso 2.8

Simplifica el resultado.

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Paso 2.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.8.1.1

Eleva

$- 1$ a la potencia de

$2$ .

$f (- 1) = 4 \cdot 1 + 20 (- 1) - 24$

Paso 2.8.1.2

Multiplica

$4$ por

$1$ .

$f (- 1) = 4 + 20 (- 1) - 24$

Paso 2.8.1.3

Multiplica

$20$ por

$- 1$ .

$f (- 1) = 4 - 20 - 24$

Paso 2.8.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 2.8.2.1

Resta

$20$ de

$4$ .

$f (- 1) = - 16 - 24$

Paso 2.8.2.2

Resta

$24$ de

$- 16$ .

$f (- 1) = - 40$

Paso 2.8.3

La respuesta final es

$- 40$ .

$- 40$

Paso 2.9

El valor de

$y$ en

$x = - 1$ es

$- 40$ .

$y = - 40$

Paso 2.10

Reemplaza la variable

$x$ con

$0$ en la expresión.

$f (0) = 4 {(0)}^{2} + 20 (0) - 24$

Paso 2.11

Simplifica el resultado.

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Paso 2.11.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.11.1.1

Elevar

$0$ a cualquier potencia positiva da como resultado

$0$ .

$f (0) = 4 \cdot 0 + 20 (0) - 24$

Paso 2.11.1.2

Multiplica

$4$ por

$0$ .

$f (0) = 0 + 20 (0) - 24$

Paso 2.11.1.3

Multiplica

$20$ por

$0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 24$

Paso 2.11.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.11.2.1

Suma

$0$ y

$0$ .

$f (0) = 0 - 24$

Paso 2.11.2.2

Resta

$24$ de

$0$ .

$f (0) = - 24$

Paso 2.11.3

La respuesta final es

$- 24$ .

$- 24$

Paso 2.12

El valor de

$y$ en

$x = 0$ es

$- 24$ .

$y = - 24$

Paso 2.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & - 40 \\ - 3 & - 48 \\ - \frac{5}{2} & - 49 \\ - 1 & - 40 \\ 0 & - 24 \end{array}$

Paso 3

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice:

$(- \frac{5}{2}, - 49)$

Foco:

$(- \frac{5}{2}, - \frac{783}{16})$

Eje de simetría:

$x = - \frac{5}{2}$

Directriz:

$y = - \frac{785}{16}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & - 40 \\ - 3 & - 48 \\ - \frac{5}{2} & - 49 \\ - 1 & - 40 \\ 0 & - 24 \end{array}$

Paso 4