Precálculo Ejemplos

$\tan (45 + 60)$

Paso 1

Suma $45$ y $60$ .

$\tan (105)$

Paso 2

El valor exacto de $\tan (105)$ es $- 2 - \sqrt{3}$ .

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Paso 2.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque la tangente es negativa en el segundo cuadrante.

$- \tan (75)$

Paso 2.2

Divide $75$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$- \tan (30 + 45)$

Paso 2.3

Aplica la suma de la razón de los ángulos.

$- \frac{\tan (30) + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

Paso 2.4

El valor exacto de $\tan (30)$ es $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

Paso 2.5

El valor exacto de $\tan (45)$ es $1$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

Paso 2.6

El valor exacto de $\tan (30)$ es $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \tan (45)}$

Paso 2.7

El valor exacto de $\tan (45)$ es $1$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$

Paso 2.8

Simplifica $- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ .

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Paso 2.8.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

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Paso 2.8.1.1

Multiplica $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1})$

Paso 2.8.1.2

Combinar.

$- \frac{3 (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1)}{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Paso 2.8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{3 \frac{\sqrt{3}}{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Paso 2.8.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.8.3.1

Cancela el factor común.

$- \frac{3 \frac{\sqrt{3}}{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Paso 2.8.3.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{\sqrt{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Paso 2.8.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Paso 2.8.5

Simplifica el denominador.

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Paso 2.8.5.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Paso 2.8.5.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Paso 2.8.5.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.8.5.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ al numerador.

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}$

Paso 2.8.5.3.2

Cancela el factor común.

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}$

Paso 2.8.5.3.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$

Paso 2.8.6

Multiplica $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ por $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$- (\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}})$

Paso 2.8.7

Multiplica $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ por $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$- \frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}$

Paso 2.8.8

Expande el denominador con el método PEIU.

$- \frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 2.8.9

Simplifica.

$- \frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{6}$

Paso 2.8.10

Simplifica el numerador.

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Paso 2.8.10.1

Reordena los términos.

$- \frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6}$

Paso 2.8.10.2

Eleva $3 + \sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1} (3 + \sqrt{3})}{6}$

Paso 2.8.10.3

Eleva $3 + \sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1} {(3 + \sqrt{3})}^{1}}{6}$

Paso 2.8.10.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6}$

Paso 2.8.10.5

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{2}}{6}$

Paso 2.8.11

Reescribe ${(3 + \sqrt{3})}^{2}$ como $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ .

$- \frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6}$

Paso 2.8.12

Expande $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.8.12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{3 (3 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6}$

Paso 2.8.12.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6}$

Paso 2.8.12.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Paso 2.8.13

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.8.13.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.8.13.1.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Paso 2.8.13.1.2

Mueve $3$ a la izquierda de $\sqrt{3}$ .

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Paso 2.8.13.1.3

Combina con la regla del producto para radicales.

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{6}$

Paso 2.8.13.1.4

Multiplica $3$ por $3$ .

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{6}$

Paso 2.8.13.1.5

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{6}$

Paso 2.8.13.1.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3}{6}$

Paso 2.8.13.2

Suma $9$ y $3$ .

$- \frac{12 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{6}$

Paso 2.8.13.3

Suma $3 \sqrt{3}$ y $3 \sqrt{3}$ .

$- \frac{12 + 6 \sqrt{3}}{6}$

Paso 2.8.14

Cancela el factor común de $12 + 6 \sqrt{3}$ y $6$ .

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Paso 2.8.14.1

Factoriza $6$ de $12$ .

$- \frac{6 \cdot 2 + 6 \sqrt{3}}{6}$

Paso 2.8.14.2

Factoriza $6$ de $6 \sqrt{3}$ .

$- \frac{6 \cdot 2 + 6 (\sqrt{3})}{6}$

Paso 2.8.14.3

Factoriza $6$ de $6 (2) + 6 (\sqrt{3})$ .

$- \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6}$

Paso 2.8.14.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.8.14.4.1

Factoriza $6$ de $6$ .

$- \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 (1)}$

Paso 2.8.14.4.2

Cancela el factor común.

$- \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 \cdot 1}$

Paso 2.8.14.4.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{1}$

Paso 2.8.14.4.4

Divide $2 + \sqrt{3}$ por $1$ .

$- (2 + \sqrt{3})$

Paso 2.8.15

Aplica la propiedad distributiva.

$- 1 \cdot 2 - \sqrt{3}$

Paso 2.8.16

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 - \sqrt{3}$

Paso 3

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- 2 - \sqrt{3}$

Forma decimal:

$- 3.73205080 \dots$