Precálculo Ejemplos

$| \frac{1}{2} x - 1 | + \frac{3}{2} x < 10$

Paso 1

Escribe $| \frac{1}{2} x - 1 | + \frac{3}{2} x < 10$ como una función definida por partes.

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Paso 1.1

Para obtener el intervalo de la primera parte, obtén dónde el interior del valor absoluto no es negativo.

$\frac{1}{2} x - 1 \geq 0$

Paso 1.2

Resuelve la desigualdad.

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Paso 1.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$\frac{x}{2} - 1 \geq 0$

Paso 1.2.2

Suma $1$ a ambos lados de la desigualdad.

$\frac{x}{2} \geq 1$

Paso 1.2.3

Multiplica ambos lados por $2$ .

$\frac{x}{2} \cdot 2 \geq 1 \cdot 2$

Paso 1.2.4

Simplifica.

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Paso 1.2.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.4.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.4.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x}{2} \cdot 2 \geq 1 \cdot 2$

Paso 1.2.4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x \geq 1 \cdot 2$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$x \geq 2$

Paso 1.3

En la parte donde $\frac{1}{2} x - 1$ no es negativa, elimina el valor absoluto.

$\frac{1}{2} x - 1 + \frac{3}{2} x < 10$

Paso 1.4

Para obtener el intervalo de la segunda parte, obtén dónde el interior del valor absoluto es negativo.

$\frac{1}{2} x - 1 < 0$

Paso 1.5

Resuelve la desigualdad.

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Paso 1.5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$\frac{x}{2} - 1 < 0$

Paso 1.5.2

Suma $1$ a ambos lados de la desigualdad.

$\frac{x}{2} < 1$

Paso 1.5.3

Multiplica ambos lados por $2$ .

$\frac{x}{2} \cdot 2 < 1 \cdot 2$

Paso 1.5.4

Simplifica.

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Paso 1.5.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.4.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.4.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x}{2} \cdot 2 < 1 \cdot 2$

Paso 1.5.4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x < 1 \cdot 2$

Paso 1.5.4.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.4.2.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$x < 2$

Paso 1.6

En la parte donde $\frac{1}{2} x - 1$ es negativa, elimina el valor absoluto y multiplica por $- 1$ .

$- (\frac{1}{2} x - 1) + \frac{3}{2} x < 10$

Paso 1.7

Escribe como una función definida por partes.

${\begin{cases} \frac{1}{2} x - 1 + \frac{3}{2} x < 10 & x \geq 2 \\ - (\frac{1}{2} x - 1) + \frac{3}{2} x < 10 & x < 2 \end{cases}$

Paso 1.8

Simplifica $\frac{1}{2} x - 1 + \frac{3}{2} x < 10$ .

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Paso 1.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.8.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

${\begin{cases} \frac{x}{2} - 1 + \frac{3}{2} x < 10 & x \geq 2 \\ - (\frac{1}{2} x - 1) + \frac{3}{2} x < 10 & x < 2 \end{cases}$

Paso 1.8.1.2

Combina $\frac{3}{2}$ y $x$ .

${\begin{cases} \frac{x}{2} - 1 + \frac{3 x}{2} < 10 & x \geq 2 \\ - (\frac{1}{2} x - 1) + \frac{3}{2} x < 10 & x < 2 \end{cases}$

Paso 1.8.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${\begin{cases} - 1 + \frac{x + 3 x}{2} < 10 & x \geq 2 \\ - (\frac{1}{2} x - 1) + \frac{3}{2} x < 10 & x < 2 \end{cases}$

Paso 1.8.3

Suma $x$ y $3 x$ .

${\begin{cases} - 1 + \frac{4 x}{2} < 10 & x \geq 2 \\ - (\frac{1}{2} x - 1) + \frac{3}{2} x < 10 & x < 2 \end{cases}$

Paso 1.8.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 1.8.4.1

Factoriza $2$ de $4 x$ .

${\begin{cases} - 1 + \frac{2 (2 x)}{2} < 10 & x \geq 2 \\ - (\frac{1}{2} x - 1) + \frac{3}{2} x < 10 & x < 2 \end{cases}$

Paso 1.8.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.8.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

${\begin{cases} - 1 + \frac{2 (2 x)}{2 (1)} < 10 & x \geq 2 \\ - (\frac{1}{2} x - 1) + \frac{3}{2} x < 10 & x < 2 \end{cases}$

Paso 1.8.4.2.2

Cancela el factor común.

${\begin{cases} - 1 + \frac{2 (2 x)}{2 \cdot 1} < 10 & x \geq 2 \\ - (\frac{1}{2} x - 1) + \frac{3}{2} x < 10 & x < 2 \end{cases}$

Paso 1.8.4.2.3

Reescribe la expresión.

${\begin{cases} - 1 + \frac{2 x}{1} < 10 & x \geq 2 \\ - (\frac{1}{2} x - 1) + \frac{3}{2} x < 10 & x < 2 \end{cases}$

Paso 1.8.4.2.4

Divide $2 x$ por $1$ .

${\begin{cases} - 1 + 2 x < 10 & x \geq 2 \\ - (\frac{1}{2} x - 1) + \frac{3}{2} x < 10 & x < 2 \end{cases}$

Paso 1.9

Simplifica $- (\frac{1}{2} x - 1) + \frac{3}{2} x < 10$ .

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Paso 1.9.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.9.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

${\begin{cases} - 1 + 2 x < 10 & x \geq 2 \\ - (\frac{x}{2} - 1) + \frac{3}{2} x < 10 & x < 2 \end{cases}$

Paso 1.9.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

${\begin{cases} - 1 + 2 x < 10 & x \geq 2 \\ - \frac{x}{2} - - 1 + \frac{3}{2} x < 10 & x < 2 \end{cases}$

Paso 1.9.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

${\begin{cases} - 1 + 2 x < 10 & x \geq 2 \\ - \frac{x}{2} + 1 + \frac{3}{2} x < 10 & x < 2 \end{cases}$

Paso 1.9.1.4

Combina $\frac{3}{2}$ y $x$ .

${\begin{cases} - 1 + 2 x < 10 & x \geq 2 \\ - \frac{x}{2} + 1 + \frac{3 x}{2} < 10 & x < 2 \end{cases}$

Paso 1.9.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${\begin{cases} - 1 + 2 x < 10 & x \geq 2 \\ 1 + \frac{- x + 3 x}{2} < 10 & x < 2 \end{cases}$

Paso 1.9.3

Suma $- x$ y $3 x$ .

${\begin{cases} - 1 + 2 x < 10 & x \geq 2 \\ 1 + \frac{2 x}{2} < 10 & x < 2 \end{cases}$

Paso 1.9.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.9.4.1

Cancela el factor común.

${\begin{cases} - 1 + 2 x < 10 & x \geq 2 \\ 1 + \frac{2 x}{2} < 10 & x < 2 \end{cases}$

Paso 1.9.4.2

Divide $x$ por $1$ .

${\begin{cases} - 1 + 2 x < 10 & x \geq 2 \\ 1 + x < 10 & x < 2 \end{cases}$

Paso 2

Resuelve $- 1 + 2 x < 10$ cuando $x \geq 2$ .

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Paso 2.1

Resuelve $- 1 + 2 x < 10$ en $x$ .

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Paso 2.1.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la desigualdad.

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Paso 2.1.1.1

Suma $1$ a ambos lados de la desigualdad.

$2 x < 10 + 1$

Paso 2.1.1.2

Suma $10$ y $1$ .

$2 x < 11$

Paso 2.1.2

Divide cada término en $2 x < 11$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.1.2.1

Divide cada término en $2 x < 11$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} < \frac{11}{2}$

Paso 2.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} < \frac{11}{2}$

Paso 2.1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x < \frac{11}{2}$

Paso 2.2

Obtén la intersección de $x < \frac{11}{2}$ y $x \geq 2$ .

$2 \leq x < \frac{11}{2}$

Paso 3

Resuelve $1 + x < 10$ cuando $x < 2$ .

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la desigualdad.

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Paso 3.1.1

Resta $1$ de ambos lados de la desigualdad.

$x < 10 - 1$

Paso 3.1.2

Resta $1$ de $10$ .

$x < 9$

Paso 3.2

Obtén la intersección de $x < 9$ y $x < 2$ .

$x < 2$

Paso 4

Obtén la unión de las soluciones.

$x < \frac{11}{2}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x < \frac{11}{2}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, \frac{11}{2})$

Paso 6