Precálculo Ejemplos

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 1}{x (x + 1)} > 0$

Paso 1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x = 0$

$2 x^{2} + 2 x + 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3

Sustituye los valores $a = 2$ , $b = 2$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 1)}}{2 \cdot 2}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.1.3

Resta $8$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.1.4

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.1.7

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Paso 4.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot 2}$

Paso 4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{4}$

Paso 4.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 i}{4}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i}{2}$

Paso 5

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{1}{2} + \frac{i}{2}, - \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$

Paso 6

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 7

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 0$

$x = - \frac{1}{2} + \frac{i}{2}, - \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$

$x = - 1$

Paso 8

Consolida las soluciones.

$x = 0, - 1$

Paso 9

Obtén el dominio de $\frac{2 x^{2} + 2 x + 1}{x (x + 1)}$ .

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Paso 9.1

Establece el denominador en $\frac{2 x^{2} + 2 x + 1}{x (x + 1)}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x (x + 1) = 0$

Paso 9.2

Resuelve $x$

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Paso 9.2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 9.2.2

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 9.2.3

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 9.2.3.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 9.2.3.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 9.2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 1$

Paso 9.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 10

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$x > 0$

Paso 11

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 11.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 11.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$\frac{2 {(- 4)}^{2} + 2 (- 4) + 1}{(- 4) ((- 4) + 1)} > 0$

Paso 11.1.3

$2.08\overline{3}$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 11.2

Prueba un valor en el intervalo $- 1 < x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 1 < x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 0.5$

Paso 11.2.2

Reemplaza $x$ con $- 0.5$ en la desigualdad original.

$\frac{2 {(- 0.5)}^{2} + 2 (- 0.5) + 1}{(- 0.5) ((- 0.5) + 1)} > 0$

Paso 11.2.3

$- 2$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 11.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 11.3.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$\frac{2 {(2)}^{2} + 2 (2) + 1}{(2) ((2) + 1)} > 0$

Paso 11.3.3

$2.1\overline{6}$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 11.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 1$ Verdadero

$- 1 < x < 0$ Falso

$x > 0$ Verdadero

$x < - 1$ Verdadero

$- 1 < x < 0$ Falso

$x > 0$ Verdadero

Paso 12

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 1$ o $x > 0$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x < - 1 or x > 0$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 1) \cup (0, \infty)$

Paso 14