Precálculo Ejemplos

$\frac{2}{x + 2} + \frac{x}{2 - x} < \frac{13}{4 - x^{2}}$

Paso 1

Resta $\frac{13}{4 - x^{2}}$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{2}{x + 2} + \frac{x}{2 - x} - \frac{13}{4 - x^{2}} < 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{2}{x + 2} + \frac{x}{2 - x} - \frac{13}{4 - x^{2}}$ .

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Paso 2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{2}{x + 2} + \frac{x}{2 - x} - \frac{13}{2^{2} - x^{2}} < 0$

Paso 2.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2$ y $b = x$ .

$\frac{2}{x + 2} + \frac{x}{2 - x} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Paso 2.2

Para escribir $\frac{2}{x + 2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$\frac{2}{x + 2} \cdot \frac{2 - x}{2 - x} + \frac{x}{2 - x} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Paso 2.3

Para escribir $\frac{x}{2 - x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{2}{x + 2} \cdot \frac{2 - x}{2 - x} + \frac{x}{2 - x} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Paso 2.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + 2) (2 - x)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.4.1

Multiplica $\frac{2}{x + 2}$ por $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$\frac{2 (2 - x)}{(x + 2) (2 - x)} + \frac{x}{2 - x} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Paso 2.4.2

Multiplica $\frac{x}{2 - x}$ por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{2 (2 - x)}{(x + 2) (2 - x)} + \frac{x (x + 2)}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Paso 2.4.3

Reordena los factores de $(x + 2) (2 - x)$ .

$\frac{2 (2 - x)}{(2 - x) (x + 2)} + \frac{x (x + 2)}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 (2 - x) + x (x + 2)}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Paso 2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \cdot 2 + 2 (- x) + x (x + 2)}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Paso 2.6.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 + 2 (- x) + x (x + 2)}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Paso 2.6.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{4 - 2 x + x (x + 2)}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Paso 2.6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 - 2 x + x \cdot x + x \cdot 2}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Paso 2.6.5

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{4 - 2 x + x^{2} + x \cdot 2}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Paso 2.6.6

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{4 - 2 x + x^{2} + 2 \cdot x}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Paso 2.6.7

Suma $- 2 x$ y $2 x$ .

$\frac{4 + x^{2} + 0}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Paso 2.6.8

Suma $4 + x^{2}$ y $0$ .

$\frac{4 + x^{2}}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Paso 2.7

Reordena los términos.

$\frac{4 + x^{2}}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(x + 2) (2 - x)} < 0$

Paso 2.8

Reordena los factores de $(x + 2) (2 - x)$ .

$\frac{4 + x^{2}}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 - x) (x + 2)} < 0$

Paso 2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 + x^{2} - 13}{(2 - x) (x + 2)} < 0$

Paso 2.10

Simplifica el numerador.

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Paso 2.10.1

Resta $13$ de $4$ .

$\frac{x^{2} - 9}{(2 - x) (x + 2)} < 0$

Paso 2.10.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 3^{2}}{(2 - x) (x + 2)} < 0$

Paso 2.10.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{(2 - x) (x + 2)} < 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$2 - x = 0$

$x + 2 = 0$

Paso 4

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 5

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 6

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 2$

Paso 7

Divide cada término en $- x = - 2$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $- x = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 7.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Divide $- 2$ por $- 1$ .

$x = 2$

Paso 8

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 9

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = - 3$

$x = 3$

$x = 2$

$x = - 2$

Paso 10

Consolida las soluciones.

$x = - 3, 3, 2, - 2$

Paso 11

Obtén el dominio de $\frac{(x + 3) (x - 3)}{(2 - x) (x + 2)}$ .

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Paso 11.1

Establece el denominador en $\frac{(x + 3) (x - 3)}{(2 - x) (x + 2)}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$(2 - x) (x + 2) = 0$

Paso 11.2

Resuelve $x$

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Paso 11.2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 - x = 0$

$x + 2 = 0$

Paso 11.2.2

Establece $2 - x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 11.2.2.1

Establece $2 - x$ igual a $0$ .

$2 - x = 0$

Paso 11.2.2.2

Resuelve $2 - x = 0$ en $x$ .

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Paso 11.2.2.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 2$

Paso 11.2.2.2.2

Divide cada término en $- x = - 2$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 11.2.2.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 11.2.2.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 11.2.2.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 11.2.2.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 11.2.2.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 11.2.2.2.2.3.1

Divide $- 2$ por $- 1$ .

$x = 2$

Paso 11.2.3

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 11.2.3.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 11.2.3.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 11.2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 - x) (x + 2) = 0$ verdadera.

$x = 2, - 2$

Paso 11.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Paso 12

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 3$

$- 3 < x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$2 < x < 3$

$x > 3$

Paso 13

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 13.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 13.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 13.1.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

$\frac{2}{(- 6) + 2} + \frac{- 6}{2 - (- 6)} < \frac{13}{4 - {(- 6)}^{2}}$

Paso 13.1.3

$- 1.25$ del lado izquierdo es menor que $- 0.40625$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 13.2

Prueba un valor en el intervalo $- 3 < x < - 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 13.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 3 < x < - 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2.5$

Paso 13.2.2

Reemplaza $x$ con $- 2.5$ en la desigualdad original.

$\frac{2}{(- 2.5) + 2} + \frac{- 2.5}{2 - (- 2.5)} < \frac{13}{4 - {(- 2.5)}^{2}}$

Paso 13.2.3

$- 4.\overline{5}$ del lado izquierdo no es menor que $- 5.\overline{7}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 13.3

Prueba un valor en el intervalo $- 2 < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 13.3.1

Elije un valor en el intervalo $- 2 < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 13.3.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{2}{(0) + 2} + \frac{0}{2 - (0)} < \frac{13}{4 - {(0)}^{2}}$

Paso 13.3.3

$1$ del lado izquierdo es menor que $3.25$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 13.4

Prueba un valor en el intervalo $2 < x < 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 13.4.1

Elije un valor en el intervalo $2 < x < 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2.5$

Paso 13.4.2

Reemplaza $x$ con $2.5$ en la desigualdad original.

$\frac{2}{(2.5) + 2} + \frac{2.5}{2 - (2.5)} < \frac{13}{4 - {(2.5)}^{2}}$

Paso 13.4.3

$- 4.\overline{5}$ del lado izquierdo no es menor que $- 5.\overline{7}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 13.5

Prueba un valor en el intervalo $x > 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 13.5.1

Elije un valor en el intervalo $x > 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 13.5.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$\frac{2}{(6) + 2} + \frac{6}{2 - (6)} < \frac{13}{4 - {(6)}^{2}}$

Paso 13.5.3

$- 1.25$ del lado izquierdo es menor que $- 0.40625$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 13.6

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 3$ Verdadero

$- 3 < x < - 2$ Falso

$- 2 < x < 2$ Verdadero

$2 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Verdadero

$x < - 3$ Verdadero

$- 3 < x < - 2$ Falso

$- 2 < x < 2$ Verdadero

$2 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Verdadero

Paso 14

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 3$ o $- 2 < x < 2$ o $x > 3$

Paso 15

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x < - 3 or - 2 < x < 2 or x > 3$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 3) \cup (- 2, 2) \cup (3, \infty)$

Paso 16