Precálculo Ejemplos

$1 + \frac{3 y}{1 - y} > 2$

Paso 1

Resta $2$ de ambos lados de la desigualdad.

$1 + \frac{3 y}{1 - y} - 2 > 0$

Paso 2

Simplifica $1 + \frac{3 y}{1 - y} - 2$ .

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Paso 2.1

Obtén el denominador común

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Paso 2.1.1

Escribe $1$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{1}{1} + \frac{3 y}{1 - y} - 2 > 0$

Paso 2.1.2

Multiplica $\frac{1}{1}$ por $\frac{1 - y}{1 - y}$ .

$\frac{1}{1} \cdot \frac{1 - y}{1 - y} + \frac{3 y}{1 - y} - 2 > 0$

Paso 2.1.3

Multiplica $\frac{1}{1}$ por $\frac{1 - y}{1 - y}$ .

$\frac{1 - y}{1 - y} + \frac{3 y}{1 - y} - 2 > 0$

Paso 2.1.4

Escribe $- 2$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{1 - y}{1 - y} + \frac{3 y}{1 - y} + \frac{- 2}{1} > 0$

Paso 2.1.5

Multiplica $\frac{- 2}{1}$ por $\frac{1 - y}{1 - y}$ .

$\frac{1 - y}{1 - y} + \frac{3 y}{1 - y} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{1 - y}{1 - y} > 0$

Paso 2.1.6

Multiplica $\frac{- 2}{1}$ por $\frac{1 - y}{1 - y}$ .

$\frac{1 - y}{1 - y} + \frac{3 y}{1 - y} + \frac{- 2 (1 - y)}{1 - y} > 0$

Paso 2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 - y + 3 y - 2 (1 - y)}{- y + 1} > 0$

Paso 2.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 - y + 3 y - 2 \cdot 1 - 2 (- y)}{- y + 1} > 0$

Paso 2.3.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{1 - y + 3 y - 2 - 2 (- y)}{- y + 1} > 0$

Paso 2.3.3

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{1 - y + 3 y - 2 + 2 y}{- y + 1} > 0$

Paso 2.4

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{- y + 3 y - 1 + 2 y}{- y + 1} > 0$

Paso 2.5

Suma $- y$ y $3 y$ .

$\frac{2 y - 1 + 2 y}{- y + 1} > 0$

Paso 2.6

Suma $2 y$ y $2 y$ .

$\frac{4 y - 1}{- y + 1} > 0$

Paso 2.7

Factoriza $- 1$ de $- y$ .

$\frac{4 y - 1}{- (y) + 1} > 0$

Paso 2.8

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{4 y - 1}{- (y) - 1 (- 1)} > 0$

Paso 2.9

Factoriza $- 1$ de $- (y) - 1 (- 1)$ .

$\frac{4 y - 1}{- (y - 1)} > 0$

Paso 2.10

Reescribe $- (y - 1)$ como $- 1 (y - 1)$ .

$\frac{4 y - 1}{- 1 (y - 1)} > 0$

Paso 2.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4 y - 1}{y - 1} > 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$4 y - 1 = 0$

$y - 1 = 0$

Paso 4

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$4 y = 1$

Paso 5

Divide cada término en $4 y = 1$ por $4$ y simplifica.

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Paso 5.1

Divide cada término en $4 y = 1$ por $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 y}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 5.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{1}{4}$

Paso 6

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 1$

Paso 7

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$y = \frac{1}{4}$

$y = 1$

Paso 8

Consolida las soluciones.

$y = \frac{1}{4}, 1$

Paso 9

Obtén el dominio de $- \frac{4 y - 1}{y - 1}$ .

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Paso 9.1

Establece el denominador en $\frac{4 y - 1}{y - 1}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$y - 1 = 0$

Paso 9.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 1$

Paso 9.3

El dominio son todos los valores de $y$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 10

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$y < \frac{1}{4}$

$\frac{1}{4} < y < 1$

$y > 1$

Paso 11

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 11.1

Prueba un valor en el intervalo $y < \frac{1}{4}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.1.1

Elije un valor en el intervalo $y < \frac{1}{4}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$y = 0$

Paso 11.1.2

Reemplaza $y$ con $0$ en la desigualdad original.

$1 + \frac{3 (0)}{1 - (0)} > 2$

Paso 11.1.3

$1$ del lado izquierdo no es mayor que $2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 11.2

Prueba un valor en el intervalo $\frac{1}{4} < y < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.2.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{1}{4} < y < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$y = 0.62$

Paso 11.2.2

Reemplaza $y$ con $0.62$ en la desigualdad original.

$1 + \frac{3 (0.62)}{1 - (0.62)} > 2$

Paso 11.2.3

$5.89473684$ del lado izquierdo es mayor que $2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 11.3

Prueba un valor en el intervalo $y > 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.3.1

Elije un valor en el intervalo $y > 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$y = 4$

Paso 11.3.2

Reemplaza $y$ con $4$ en la desigualdad original.

$1 + \frac{3 (4)}{1 - (4)} > 2$

Paso 11.3.3

$- 3$ del lado izquierdo no es mayor que $2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 11.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$y < \frac{1}{4}$ Falso

$\frac{1}{4} < y < 1$ Verdadero

$y > 1$ Falso

$y < \frac{1}{4}$ Falso

$\frac{1}{4} < y < 1$ Verdadero

$y > 1$ Falso

Paso 12

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$\frac{1}{4} < y < 1$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$\frac{1}{4} < y < 1$

Notación de intervalo:

$(\frac{1}{4}, 1)$

Paso 14