Precálculo Ejemplos

$5 > \sqrt{2 y + 7}$

Paso 1

Como el radical está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$\sqrt{2 y + 7} < 5$

Paso 2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la desigualdad, eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

${\sqrt{2 y + 7}}^{2} < 5^{2}$

Paso 3

Simplifica cada lado de la desigualdad.

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 y + 7}$ como ${(2 y + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 y + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < 5^{2}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica ${({(2 y + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(2 y + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 y + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 5^{2}$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(2 y + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 5^{2}$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(2 y + 7)}^{1} < 5^{2}$

Paso 3.2.1.2

Simplifica.

$2 y + 7 < 5^{2}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$2 y + 7 < 25$

Paso 4

Resuelve $y$

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Paso 4.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la desigualdad.

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Paso 4.1.1

Resta $7$ de ambos lados de la desigualdad.

$2 y < 25 - 7$

Paso 4.1.2

Resta $7$ de $25$ .

$2 y < 18$

Paso 4.2

Divide cada término en $2 y < 18$ por $2$ y simplifica.

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Paso 4.2.1

Divide cada término en $2 y < 18$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} < \frac{18}{2}$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} < \frac{18}{2}$

Paso 4.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y < \frac{18}{2}$

Paso 4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.3.1

Divide $18$ por $2$ .

$y < 9$

Paso 5

Obtén el dominio de $5 - \sqrt{2 y + 7}$ .

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Paso 5.1

Establece el radicando en $\sqrt{2 y + 7}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$2 y + 7 \geq 0$

Paso 5.2

Resuelve $y$

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Paso 5.2.1

Resta $7$ de ambos lados de la desigualdad.

$2 y \geq - 7$

Paso 5.2.2

Divide cada término en $2 y \geq - 7$ por $2$ y simplifica.

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Paso 5.2.2.1

Divide cada término en $2 y \geq - 7$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} \geq \frac{- 7}{2}$

Paso 5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} \geq \frac{- 7}{2}$

Paso 5.2.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y \geq \frac{- 7}{2}$

Paso 5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y \geq - \frac{7}{2}$

Paso 5.3

El dominio son todos los valores de $y$ que hacen que la expresión sea definida.

$[- \frac{7}{2}, \infty)$

Paso 6

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$y < - \frac{7}{2}$

$- \frac{7}{2} < y < 9$

$y > 9$

Paso 7

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 7.1

Prueba un valor en el intervalo $y < - \frac{7}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.1.1

Elije un valor en el intervalo $y < - \frac{7}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$y = - 6$

Paso 7.1.2

Reemplaza $y$ con $- 6$ en la desigualdad original.

$5 > \sqrt{2 (- 6) + 7}$

Paso 7.1.3

El lado izquierdo no es igual al lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 7.2

Prueba un valor en el intervalo $- \frac{7}{2} < y < 9$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.2.1

Elije un valor en el intervalo $- \frac{7}{2} < y < 9$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$y = 0$

Paso 7.2.2

Reemplaza $y$ con $0$ en la desigualdad original.

$5 > \sqrt{2 (0) + 7}$

Paso 7.2.3

$5$ del lado izquierdo es mayor que $2.64575131$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 7.3

Prueba un valor en el intervalo $y > 9$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.3.1

Elije un valor en el intervalo $y > 9$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$y = 12$

Paso 7.3.2

Reemplaza $y$ con $12$ en la desigualdad original.

$5 > \sqrt{2 (12) + 7}$

Paso 7.3.3

$5$ del lado izquierdo no es mayor que $5.56776436$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 7.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$y < - \frac{7}{2}$ Falso

$- \frac{7}{2} < y < 9$ Verdadero

$y > 9$ Falso

$y < - \frac{7}{2}$ Falso

$- \frac{7}{2} < y < 9$ Verdadero

$y > 9$ Falso

Paso 8

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- \frac{7}{2} < y < 9$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$- \frac{7}{2} < y < 9$

Notación de intervalo:

$(- \frac{7}{2}, 9)$

Paso 10