Precálculo Ejemplos

$(\sqrt{3} + \sqrt{15} i) (\sqrt{3} - \sqrt{15} i)$

Paso 1

Expande $(\sqrt{3} + \sqrt{15} i) (\sqrt{3} - \sqrt{15} i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{3} (\sqrt{3} - \sqrt{15} i) + \sqrt{15} i (\sqrt{3} - \sqrt{15} i)$

Paso 1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (- \sqrt{15} i) + \sqrt{15} i (\sqrt{3} - \sqrt{15} i)$

Paso 1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (- \sqrt{15} i) + \sqrt{15} i \sqrt{3} + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Paso 2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\sqrt{3 \cdot 3} + \sqrt{3} (- \sqrt{15} i) + \sqrt{15} i \sqrt{3} + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Paso 2.1.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\sqrt{9} + \sqrt{3} (- \sqrt{15} i) + \sqrt{15} i \sqrt{3} + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Paso 2.1.3

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\sqrt{3^{2}} + \sqrt{3} (- \sqrt{15} i) + \sqrt{15} i \sqrt{3} + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Paso 2.1.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$3 + \sqrt{3} (- \sqrt{15} i) + \sqrt{15} i \sqrt{3} + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Paso 2.1.5

Multiplica $\sqrt{3} (- \sqrt{15} i)$ .

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Paso 2.1.5.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$3 - \sqrt{3 \cdot 15} i + \sqrt{15} i \sqrt{3} + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Paso 2.1.5.2

Multiplica $3$ por $15$ .

$3 - \sqrt{45} i + \sqrt{15} i \sqrt{3} + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Paso 2.1.6

Reescribe $45$ como $3^{2} \cdot 5$ .

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Paso 2.1.6.1

Factoriza $9$ de $45$ .

$3 - \sqrt{9 (5)} i + \sqrt{15} i \sqrt{3} + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Paso 2.1.6.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$3 - \sqrt{3^{2} \cdot 5} i + \sqrt{15} i \sqrt{3} + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Paso 2.1.7

Retira los términos de abajo del radical.

$3 - (3 \sqrt{5}) i + \sqrt{15} i \sqrt{3} + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Paso 2.1.8

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$3 - 3 \sqrt{5} i + \sqrt{15} i \sqrt{3} + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Paso 2.1.9

Multiplica $\sqrt{15} i \sqrt{3}$ .

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Paso 2.1.9.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$3 - 3 \sqrt{5} i + \sqrt{3 \cdot 15} i + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Paso 2.1.9.2

Multiplica $3$ por $15$ .

$3 - 3 \sqrt{5} i + \sqrt{45} i + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Paso 2.1.10

Reescribe $45$ como $3^{2} \cdot 5$ .

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Paso 2.1.10.1

Factoriza $9$ de $45$ .

$3 - 3 \sqrt{5} i + \sqrt{9 (5)} i + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Paso 2.1.10.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$3 - 3 \sqrt{5} i + \sqrt{3^{2} \cdot 5} i + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Paso 2.1.11

Retira los términos de abajo del radical.

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Paso 2.1.12

Multiplica $\sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$ .

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Paso 2.1.12.1

Eleva $\sqrt{15}$ a la potencia de $1$ .

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i + i (- ({\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15}) i)$

Paso 2.1.12.2

Eleva $\sqrt{15}$ a la potencia de $1$ .

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i + i (- ({\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1}) i)$

Paso 2.1.12.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i + i (- {\sqrt{15}}^{1 + 1} i)$

Paso 2.1.12.4

Suma $1$ y $1$ .

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i + i (- {\sqrt{15}}^{2} i)$

Paso 2.1.12.5

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i - {\sqrt{15}}^{2} (i^{1} i)$

Paso 2.1.12.6

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i - {\sqrt{15}}^{2} (i^{1} i^{1})$

Paso 2.1.12.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i - {\sqrt{15}}^{2} i^{1 + 1}$

Paso 2.1.12.8

Suma $1$ y $1$ .

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i - {\sqrt{15}}^{2} i^{2}$

Paso 2.1.13

Reescribe ${\sqrt{15}}^{2}$ como $15$ .

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Paso 2.1.13.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{15}$ como $15^{\frac{1}{2}}$ .

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i - {(15^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{2}$

Paso 2.1.13.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i - 15^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{2}$

Paso 2.1.13.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i - 15^{\frac{2}{2}} i^{2}$

Paso 2.1.13.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.13.4.1

Cancela el factor común.

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i - 15^{\frac{2}{2}} i^{2}$

Paso 2.1.13.4.2

Reescribe la expresión.

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i - 15^{1} i^{2}$

Paso 2.1.13.5

Evalúa el exponente.

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i - 1 \cdot 15 i^{2}$

Paso 2.1.14

Multiplica $- 1$ por $15$ .

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i - 15 i^{2}$

Paso 2.1.15

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i - 15 \cdot - 1$

Paso 2.1.16

Multiplica $- 15$ por $- 1$ .

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i + 15$

Paso 2.2

Suma $3$ y $15$ .

$- 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i + 18$

Paso 2.3

Suma $- 3 \sqrt{5} i$ y $3 \sqrt{5} i$ .

$0 + 18$

Paso 2.4

Suma $0$ y $18$ .

$18$